Plancherel-Maß

In der Mathematik ist das Plancherel-Maß ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß, welches auf der Menge ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ der irreduziblen Darstellungen ${\displaystyle \pi }$ einer lokalkompakte Gruppe ${\displaystyle G}$ definiert wird.

Das Plancherel-Maß auf halbeinfachen Lie-Gruppen ist ein von Harish-Chandra eingeführtes wichtiges Konzept der Darstellungstheorie von Gruppen.

Sei ${\displaystyle G^{\wedge }}$ die Menge der irreduziblen Darstellungen ${\displaystyle \pi }$ einer endlichen Gruppe ${\displaystyle G}$. Das Plancherel-Maß auf ${\displaystyle G^{\wedge }}$ ist für eine Darstellung ${\displaystyle \pi }$ definiert als^[1]

${\displaystyle \mu (\pi )={\frac {(\mathrm {dim} \,\pi )^{2}}{|G|}}.}$

Sei ${\displaystyle G}$ eine reelle reduktive Gruppe. Betrachte die reguläre Darstellung (durch Links- und Rechtsmultiplikation) von ${\displaystyle G\times G}$ auf ${\displaystyle H=L^{2}(G,\mu _{G})}$, also dem Vektorraum der bezüglich des Haarmaßes quadratisch integrierbaren Funktionen. Dann gibt es eine Integral-Zerlegung

${\displaystyle H=\int _{\widehat {G}}H_{\omega }d\mu _{\widehat {G}}(\omega ),}$

wobei ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ die Dualgruppe (also die Gruppe der Äquivalenzklassen irreduzibler Darstellungen von ${\displaystyle G}$) und ${\displaystyle H_{\omega }=\omega \otimes \omega ^{*}}$ ist.

Das durch diese Zerlegung auf der Dualgruppe ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ definierte Maß ${\displaystyle d\mu _{\widehat {G}}}$ ist das Plancherel-Maß. Die Zerlegung und damit das Plancherel-Maß wurden explizit von Harish-Chandra beschrieben. Insbesondere bewies er, dass der Träger von ${\displaystyle d\mu _{\widehat {G}}}$ im Unterraum der temperierten Darstellungen enthalten ist.

• Harish-Chandra (1966), "Discrete series for semisimple Lie groups. II. Explicit determination of the characters", Acta Mathematica, 116 (1): 1–111

1. ↑ Alexei Borodin, Andrei Okounov und Grigori Olshanski: Asymptotics of Plancherel measures for symmetric groups. In: Journal of the American Mathematical Society. Band 13, Nr. 3, 2000, S. 481–515, doi:10.1090/S0894-0347-00-00337-4.