Pierpont-Primzahl

Eine Pierpont-Primzahl ist eine Primzahl der Form ${\displaystyle 2^{u}3^{v}+1}$. Mit Hilfe der Pierpont-Primzahlen lässt sich angeben, welche regelmäßigen Polygone mit Zirkel und Lineal sowie einem Hilfsmittel zur Winkeldreiteilung konstruiert werden können. Sie sind nach dem US-amerikanischen Mathematiker James Pierpont benannt.

Definition

Eine Primzahl ${\displaystyle p}$ heißt Pierpont-Primzahl, wenn sie von der Form

${\displaystyle p=2^{u}3^{v}+1}$

ist, wobei ${\displaystyle u,v\in \mathbb {N} _{0}}$ natürliche Zahlen sind. Die Pierpont-Primzahlen sind damit diejenigen Primzahlen ${\displaystyle p}$, für die ${\displaystyle p-1}$ 3-glatt ist.

Beispiele

Die ersten Pierpont-Primzahlen sind:

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, 109, 163, 193, 257, 433, 487, 577, 769, 1153, 1297, 1459, 2593, 2917, 3457, 3889, …   (Folge A005109 in OEIS)

Die derzeit größte bekannte Pierpont-Primzahl ist

${\displaystyle 3\cdot 2^{10.829.346}+1}$

mit 3.259.959 Dezimalstellen. Ihre Primalität wurde 2014 von Sai Yik Tang bewiesen.^[1][2]

Eigenschaften

Spezialfälle

• Für ${\displaystyle u=0}$ und ${\displaystyle v>0}$ gibt es keine Pierpont-Primzahlen, denn ${\displaystyle 3^{v}+1}$ ist eine gerade Zahl größer als zwei und damit zusammengesetzt.
• Für ${\displaystyle u>0}$ und ${\displaystyle v=0}$ muss ${\displaystyle u}$ eine Potenz von zwei sein und eine Pierpont-Primzahl ist damit eine fermatsche Primzahl.
• Für ${\displaystyle u>0}$ und ${\displaystyle v>0}$ hat eine Pierpont-Primzahl die Form ${\displaystyle 6k+1}$.

Verteilung

Die Anzahl der Pierpont-Primzahlen kleiner als ${\displaystyle 10,100,1000,\ldots }$ ist

${\displaystyle 4,10,18,25,32,42,50,58,65,72,78,83,93,106,114,125,139,\ldots }$   (Folge A113420 in OEIS).

Die Anzahl der Pierpont-Primzahlen kleiner als ${\displaystyle 10^{1},10^{2},10^{4},10^{8},\ldots }$ ist

${\displaystyle 4,10,25,58,125,250,505,1020,2075,4227,8597,17213\ldots }$   (Folge A113412 in OEIS).

Andrew Gleason vermutete, dass es unendlich viele Pierpont-Primzahlen gibt.^[3] Sie sind nicht besonders selten und haben wenige Einschränkungen bezüglich algebraischer Faktorisierungen. So gibt es beispielsweise keine Bedingungen, wie bei Mersenne-Primzahlen, dass der Exponent prim sein muss. Vermutlich gibt es

${\displaystyle O(\log N)}$

Pierpont-Primzahlen kleiner als ${\displaystyle N}$, im Gegensatz zu ${\displaystyle O(\log \log N)}$ Mersenne-Primzahlen im gleichen Bereich.

Faktoren von Fermat-Zahlen

Als Teil der laufenden weltweiten Suche nach Faktoren der Fermat-Zahlen, wurden bereits einige Pierpont-Primzahlen als Faktoren gefunden. Die folgende Tabelle^[4] gibt Werte für ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle k}$ und ${\displaystyle n}$ an, sodass gilt:

${\displaystyle k\cdot 2^{n}+1{\text{ teilt }}2^{2^{m}}+1}$.

Die linke Seite ist eine Pierpont-Primzahl, falls ${\displaystyle k}$ eine Potenz von drei ist; die rechte Seite ist eine Fermat-Zahl.

${\displaystyle m}$	${\displaystyle k}$	${\displaystyle n}$	Jahr	Entdecker
38	3	41	1903	Cullen, Cunningham & Western
63	9	67	1956	Robinson
207	3	209	1956	Robinson
452	27	455	1956	Robinson
9428	9	9431	1983	Keller
12185	81	12189	1993	Dubner
28281	81	28285	1996	Taura
157167	3	157169	1995	Young
213319	3	213321	1996	Young
303088	3	303093	1998	Young
382447	3	382449	1999	Cosgrave & Gallot
461076	9	461081	2003	Nohara, Jobling, Woltman & Gallot
495728	243	495732	2007	Keiser, Jobling, Penné & others
672005	27	672007	2005	Cooper, Jobling, Woltman & Gallot
2145351	3	2145353	2003	Cosgrave, Jobling, Woltman & Gallot
2478782	3	2478785	2003	Cosgrave, Jobling, Woltman & Gallot
2543548	9	2543551	2011	Brown, Reynolds, Penné & Fougeron

Anwendungen

Ein regelmäßiges Polygon mit ${\displaystyle N}$ Seiten kann genau dann mit Zirkel und Lineal sowie einem Hilfsmittel zur Winkeldreiteilung konstruiert werden, wenn ${\displaystyle N}$ von der Form

${\displaystyle N=2^{m}3^{n}p_{1}\cdots p_{k}}$

ist, wobei ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{k}}$ mit ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$ verschiedene Pierpont-Primzahlen größer als drei sind.^[3][5] Die konstruierbaren Polygone, also die Polygone, die nur mit Zirkel und Lineal konstruiert werden können, sind hiervon Spezialfälle, bei denen ${\displaystyle n=0}$ und ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{k}}$ verschiedene Fermat-Primzahlen sind. Die kleinste Primzahl, die keine Pierpont-Primzahl ist, ist ${\displaystyle 11}$. Daher ist das Elfeck das kleinste regelmäßige Polygon, das nicht mit Zirkel, Lineal und Winkeldrittelung konstruiert werden kann. Alle anderen regelmäßigen ${\displaystyle n}$-Ecke mit ${\displaystyle 3\leq n\leq 21}$ können mit Zirkel, Lineal und (gegebenenfalls) einem Hilfsmittel zur Winkeldreiteilung konstruiert werden.

In der Mathematik des Papierfaltens definieren die Huzita-Axiome sechs der sieben möglichen Faltungen. Diese Faltungen reichen ebenfalls aus, jedes regelmäßige Polygon mit ${\displaystyle N}$ Seiten zu bilden, wenn ${\displaystyle N}$ von der obigen Form ist.

Verallgemeinerung

Eine Pierpont-Primzahl der 2.Art ist eine Primzahl der Form ${\displaystyle 2^{u}\cdot 3^{v}-1}$. Die ersten Zahlen dieser Art sind:

2, 3, 5, 7, 11, 17, 23, 31, 47, 53, 71, 107, 127, 191, 383, 431, 647, 863, 971, 1151, 2591, 4373, 6143, 6911, 8191, 8747,… (Folge A005105 in OEIS)

Eine verallgemeinerte Pierpont-Primzahl ist eine Primzahl der Form ${\displaystyle p_{1}^{n_{1}}\cdot p_{2}^{n_{2}}\cdot p_{3}^{n_{3}}\cdot \ldots \cdot p_{k}^{n_{k}}+1}$ mit k verschiedenen, immer größer werdenden geordneten Primzahlen ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{k}}$.

Eine verallgemeinerte Pierpont-Primzahl der 2.Art ist eine Primzahl der Form ${\displaystyle p_{1}^{n_{1}}\cdot p_{2}^{n_{2}}\cdot p_{3}^{n_{3}}\cdot \ldots \cdot p_{k}^{n_{k}}-1}$ mit k verschiedenen, immer größer werdenden geordneten Primzahlen ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{k}}$.

In beiden Fällen muss ${\displaystyle p_{1}=2}$ sein. Alle weiteren ${\displaystyle p_{i}}$ sind ungerade Primzahlen.

Diese vorherige Aussage resultiert aus der folgenden Überlegung: Wäre p₁ nicht 2, so wäre das Produkt ${\displaystyle p_{1}^{n_{1}}\cdot p_{2}^{n_{2}}\cdot p_{3}^{n_{3}}\cdot \ldots \cdot p_{k}^{n_{k}}}$ aus ungeraden Primzahlpotenzen wieder ungerade. Wenn man dann noch 1 addiert oder subtrahiert, wäre die so erhaltene Zahl auf jeden Fall gerade und somit nicht prim.

Es folgen ein paar verallgemeinerte Pierpont-Primzahlen:

{p1, p2, p3, …, pk}	+1	OEIS-Folge	-1	OEIS-Folge
{2}	2, 3, 5, 17, 257, 65537	(Folge A092506 in OEIS)	3, 7, 31, 127, 8191, 131071, …	(Folge A000668 in OEIS)
{2, 3}	2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, …	(Folge A005109 in OEIS)	2, 3, 5, 7, 11, 17, 23, 31, 47, 53, …	(Folge A005105 in OEIS)
{2, 5}	2, 3, 5, 11, 17, 41, 101, …	(Folge A077497 in OEIS)	3, 7, 19, 31, 79, 127, 199, …	(Folge A077313 in OEIS)
{2, 3, 5}	2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 31, 37, 41, …	(Folge A002200 in OEIS)
{2, 7}	2, 3, 5, 17, 29, 113, 197, …	(Folge A077498 in OEIS)	3, 7, 13, 31, 97, 127, 223, …	(Folge A077314 in OEIS)
{2, 3, 5, 7}	2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 29, 31, 37, …	(Folge A174144 in OEIS)
{2, 11}	2, 3, 5, 17, 23, 89, 257, 353, …	(Folge A077499 in OEIS)	3, 7, 31, 43, 127, 241, 967, …	(Folge A077315 in OEIS)
{2, 13}	2, 3, 5, 17, 53, 257, 677, …	(Folge A173236 in OEIS)	3, 7, 31, 103, 127, 337, …	(Folge A173062 in OEIS)

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Pierpont Prime. In: MathWorld (englisch).
• Chris Caldwell: Pierpont prime. In: The Prime Pages. Abgerufen am 25. Februar 2024 (englisch). 

Einzelnachweise

1. ↑ Chris Caldwell: The largest known primes. In: The Prime Pages. 16. August 2016, abgerufen am 25. Februar 2024. 
2. ↑ Chris Caldwell: 3·210829346 + 1. In: The Prime Pages. 17. Januar 2014, abgerufen am 25. Februar 2024. 
3. ↑ ^{a b} Andrew Gleason: Angle Trisection, the Heptagon, and the Triskaidecagon. In: The American Mathematical Monthly. Band 95, Nr. 3, 1988, S. 185–194 (math.nthu.edu.tw (archiviert vom Original) [PDF; 860 kB]). 
4. ↑ Wilfrid Keller: Prime factors of Fermat numbers and complete factoring status. 30. April 2015, abgerufen am 25. Februar 2024. 
5. ↑ Folge A048135 in OEIS