Ordnungsisomorphismus

Ein Ordnungsisomorphismus ist ein Begriff aus der Ordnungstheorie, einem Teilbereich der Mathematik. Er ermöglicht das eindeutige Übertragen von Kleiner-gleich-Relationen zwischen Mengen.

Definition

Sind zwei Halbordnungen ${\displaystyle (G,\leq _{G})}$ und ${\displaystyle (H,\leq _{H})}$ gegeben, so heißt eine Abbildung

${\displaystyle \psi \colon G\rightarrow H}$

ein Ordnungsisomorphismus, wenn ${\displaystyle \psi }$ eine bijektive isotone Abbildung ist, deren Umkehrabbildung ${\displaystyle \psi ^{-1}}$ ebenfalls eine isotone Abbildung ist.

Existiert zwischen ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle H}$ ein Ordnungsisomorphismus, so lässt sich die Existenz auch mit ${\displaystyle G\cong H}$ ausdrücken und ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle H}$ werden als ordnungsisomorph bezeichnet. Bildet ein Ordnungsisomorphismus eine Menge auf sich selbst ab, so ist er ein Automorphismus und wird auch Ordnungsautomorphismus genannt.

Beispiele

• Die identische Abbildung ${\displaystyle \operatorname {id} _{G}\colon G\rightarrow G,a\mapsto a}$ einer jeden Halb- / Totalordnung ist zugleich auch ein Ordnungsautomorphismus.
• Zwischen beschränkten offenen und beschränkten halboffenen oder abgeschlossenen Intervallen lässt sich kein Ordnungsisomorphismus erklären, denn die letzteren haben kleinste und/oder größte Elemente, die ersteren nicht.
• Sei ${\displaystyle g}$ eine Funktion, die von ${\displaystyle \mathbb {N} }$ in die Menge aller Quadratzahlen ${\displaystyle Q}$ abbildet:
  ${\displaystyle Q=\left\{n^{2}\mid n\in \mathbb {N} \right\}\subset \mathbb {N} }$
  Die Funktion lautet neu: ${\displaystyle g\colon \mathbb {N} \rightarrow Q,x\mapsto x^{2}}$
  Von dieser neuen Funktion ${\displaystyle g}$ existiert auch eine Umkehrfunktion: ${\displaystyle g^{-1}\colon Q\rightarrow \mathbb {N} ,x\mapsto {\sqrt {x}}}$
  Somit ist ${\displaystyle g}$ bijektiv. Weil ${\displaystyle g}$ bijektiv und isoton ist und weil die Ordnungen ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\leq )}$ und ${\displaystyle (Q,\leq )}$ total sind, so ist ${\displaystyle g}$ auch ein Ordnungsisomorphismus.
• Die identische Abbildung ${\displaystyle \operatorname {id} _{\mathbb {R} }\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,x\mapsto x}$ ist eine bijektive antitone Abbildung zwischen ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}$ und ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\geq )}$.
• Die Funktion des additiv inversen Elementes ${\displaystyle f\colon M\rightarrow M,x\mapsto -x}$ ist eine Involution und damit auch eine Bijektion. ${\displaystyle f}$ ist eine antitone Abbildung von ${\displaystyle (M,\leq )}$ in sich selbst und außerdem eine isotone Abbildung von ${\displaystyle (M,\leq )}$ nach ${\displaystyle (M,\geq )}$. Des Weiteren ist ${\displaystyle f}$ gar ein Ordnungsisomorphismus, da die Ordnungsrelationen Totalordnungen sind und da ${\displaystyle f}$ bijektiv ist. Dies trifft unter anderem zu für die ganzen Zahlen ${\displaystyle M=\mathbb {Z} }$, die rationalen Zahlen ${\displaystyle M=\mathbb {Q} }$ und für die reellen Zahlen ${\displaystyle M=\mathbb {R} }$ zu.
• Die Komponentenweise-kleiner-oder-gleich-Relation auf beliebigen n-Tupeln ${\displaystyle (a_{1},\cdots ,a_{n})\leq ^{n}(b_{1},\cdots ,b_{n}):\Longleftrightarrow \forall i\in [1,n]\cap \mathbb {N} :a_{i}\leq b_{i}}$ bildet für ${\displaystyle n\geq 2}$ eine echte Halbordnung, die das Totalitätskriterium nicht erfüllt. Die Funktion ${\displaystyle \Psi \colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2},(x,y)\mapsto (2x,2y)}$ ist offensichtlich bijektiv, die Umkehrfunktion lautet ${\displaystyle \Psi ^{-1}\colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2},(x,y)\mapsto \left({\frac {x}{2}},{\frac {y}{2}}\right)}$. Auf ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},\leq ^{2})}$ ist außerdem sowohl ${\displaystyle \Psi }$ als auch ${\displaystyle \Psi ^{-1}}$ isoton, was ${\displaystyle \Psi }$ und ${\displaystyle \Psi ^{-1}}$ als Ordnungsisomorphismen – genauer gesagt als einen Ordnungsautomorphismen, denn sowohl die Definitions- als auch die Zielmengen sind ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, – auszeichnet.

Komposition

Sei ${\displaystyle f\colon U\rightarrow V}$ ein Ordnungsisomorphismus zwischen ${\displaystyle (U,\leq _{U})}$ und ${\displaystyle (V,\leq _{V})}$ und sei ${\displaystyle g\colon V\rightarrow W}$ ein Ordnungsisomorphismus zwischen ${\displaystyle (V,\leq _{V})}$ und ${\displaystyle (W,\leq _{W})}$, so ist auch ${\displaystyle f\circ g\colon U\rightarrow W}$ ein Ordnungsisomorphismus und zwar zwischen ${\displaystyle (U,\leq _{U})}$ und ${\displaystyle (W,\leq _{W})}$. Durch die Eigenschaft – dass es sich um Ordnungsisomorphismen handelt – ist garantiert, dass die Abbildungen bijektiv sind, womit auch die durch Komposition entstandene Funktion bijektiv sein muss. Durch die Bijektivität wird ebenfalls garantiert, dass das Bild von ${\displaystyle f}$ gleich der Zielmenge von ${\displaystyle f}$ ist.

Eigenschaften

• Es gilt wegen der Bijektivität, dass

${\displaystyle \forall a\in G:a=\psi ^{-1}\left(\psi (a)\right)}$

gilt und ebenso:

${\displaystyle \forall a\in H:a=\psi \left(\psi ^{-1}(a)\right)}$

• Sind ${\displaystyle (G,\leq _{G})}$ und ${\displaystyle (H,\leq _{G})}$ Totalordnungen und existiert eine isotone Bijektion ${\displaystyle \gamma \colon G\rightarrow H}$, so ist diese automatisch auch ein Ordnungsisomorphismus, bzw. ${\displaystyle \gamma ^{-1}}$ ist auch isoton.
• Es lässt sich zeigen, dass jede endliche Menge ordnungsisomorph zu der Menge natürlicher Zahlen bis zur Mächtigkeit der Menge ist. Formal:

${\displaystyle \left(M,\leq _{M}\right)\cong \left(\left\{1,\dots ,\left|M\right|\right\},\leq \right)}$.

Literatur

• Rudolf Berghammer: Ordnungen, Verbände und Relationen mit Anwendungen. Springer+Vieweg, 2. Auflage 2012. ISBN 978-3658006181