Operatorassoziativität

Operatorassoziativität bezeichnet vor allem in der Informatik, aber auch Mathematik und Logik die Festlegung, wie komplexere Ausdrücke mit infix-Operatoren, die für zweistellige Operationen stehen, die nicht unbedingt assoziativ sind, zu lesen sind.

Zum Beispiel sind in der Mathematik die Addition und Multiplikation, die üblicherweise mit ${\displaystyle +}$ bzw. ${\displaystyle \cdot }$ notiert werden, assoziative Operationen, es gilt also ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$ bzw. ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$, ebenso wie in der Logik die Konjunktion ${\displaystyle (\land )}$ und Disjunktion ${\displaystyle (\lor )}$. Hier ist es gleichgültig, ob ${\displaystyle a+b+c}$ als ${\displaystyle (a+b)+c}$ oder als ${\displaystyle a+(b+c)}$ interpretiert wird.

Bei nicht assoziativen Operationen, wie etwa der Subtraktion (infix notiert durch „–“), gilt ${\displaystyle a-(b-c)=(a-b)-c}$ nicht allgemein, und daher muss festgelegt werden, ob Ausdrücke wie ${\displaystyle a-b-c}$ überhaupt erlaubt sind, und, falls sie erlaubt sind, welche Klammerung implizit vorliegen soll. Wird festgelegt, dass „–“ linksassoziativ ist, ist ${\displaystyle a-b-c}$ wie ${\displaystyle (a-b)-c}$ zu interpretieren. Soll „–“ dagegen rechtsassoziativ sein, wäre ${\displaystyle a-b-c}$ wie ${\displaystyle a-(b-c)}$ zu interpretieren.

Bei linksassoziativen Operatoren wird implizite Linksklammerung vereinbart^{[1][2][3][4][5]} – ein binärer Operator ${\displaystyle *}$ gilt somit als linksassoziativ, wenn die Ausdrücke

${\displaystyle a*b*c}$	${\displaystyle :=(a*b)*c}$
${\displaystyle a*b*c*d}$	${\displaystyle :={\bigl (}(a*b)*c{\bigr )}*d}$
etc.

wie gezeigt zu lesen sind. Beispiele für linksassoziative Operatoren sind:

Subtraktion, „–“:	${\displaystyle a-b-c}$	${\displaystyle =(a-b)-c}$
Division, „:“, „/“:	${\displaystyle a:b:c}$	${\displaystyle =(a:b):c}$
	${\displaystyle a\div b\div c}$	${\displaystyle =(a\div b)\div c}$
	${\displaystyle a/b/c}$	${\displaystyle =(a/b)/c}$
Jedoch: Bei waagerechten Bruchstrichen bindet der kürzere Bruchstrich stärker:
	${\displaystyle {\frac {a}{\frac {b}{c}}}}$	${\displaystyle ={\frac {a}{{\bigl (}{\frac {b}{c}}{\bigr )}}}={\frac {a\cdot c}{b}}}$
	${\displaystyle {\frac {\frac {a}{b}}{c}}}$	${\displaystyle ={\frac {{\bigl (}{\frac {a}{b}}{\bigr )}}{c}}={\frac {a}{b\cdot c}}}$

• Funktionsanwendung durch Juxtaposition in vielen Programmiersprachen, u. a. Haskell:

f x y z = ((f x) y) z.

Umgekehrt liegt bei rechtsassoziativen Operatoren ${\displaystyle *}$ implizite Rechtsklammerung vor, so dass gilt:

${\displaystyle x*y*z}$	${\displaystyle :=}$	${\displaystyle x*(y*z)}$
${\displaystyle w*x*y*z}$	${\displaystyle :=}$	${\displaystyle w*(x*(y*z))}$
etc.

Beispiele für rechtsassoziative Operatoren sind:^[6]

• Die Potenzierung: ${\displaystyle x^{y^{z}}:=x^{(y^{z})}}$, denn ${\displaystyle (x^{y})^{z}}$ wäre einfach ${\displaystyle x^{yz}}$.
  Achtung: Taschenrechner werten Eingaben der Form x ^ y ^ z gleichwohl in der Regel linksassoziativ, also so aus, als ob sie in der Form (x ^ y) ^ z eingegeben worden wären – bei Ausdrücken dieser Form muss daher die Rechtsassoziativität der Potenzierung stets mittels eigener Klammersetzung erzwungen werden: x ^ (y ^ z).
• Die Subjunktion in der Logik wird von den meisten Autoren rechtssassoziativ verwendet, das heißt, dass ${\displaystyle P\rightarrow Q\rightarrow R}$ als ${\displaystyle P\rightarrow (Q\rightarrow R)}$ zu lesen ist.
• Der Zuweisungsoperator einiger Programmiersprachen, wie C: x = y = z ist gleichbedeutend mit x = (y = z), das heißt, der Variablen y wird zunächst der Wert von z zugewiesen und erst danach das Ergebnis dieser Zuweisung (also der zugewiesene Wert z) der Variablen x zugewiesen.
• Funktionsanwendung durch infix-$ in Haskell:

f $ g $ h $ x = f $ (g $ (h $ x)).

Es kann auch sein, dass Ausdrücke wie ${\displaystyle a\bullet b\bullet c}$ einfach verboten werden, selbst dann, wenn die Operation, für die der Operator ${\displaystyle \bullet }$ steht, assoziativ ist. So ist zum Beispiel in Haskell der Vergleichsoperator ==, wie auch <=,> usw., in diesem Sinne „nicht-assoziativ“, obwohl die Vergleichsoperation zwischen Booleschen Werten etwa (als Funktion ${\displaystyle 2\times 2\to 2}$) assoziativ ist.

• Operatorrangfolge

1. ↑ Order of operations. (Memento vom 5. September 2017 im Internet Archive) (PDF; 265 kB) Rochester Institute of Technology
2. ↑ The Order of Operations. Education Place
3. ↑ The Order of Operations. Khan Academy (Video, ab 05:40)
4. ↑ Using Order of Operations and Exploring Properties. (PDF; 268 kB) Absatz 9, Virginia Department of Education
5. ↑ Vorrangregeln und Assoziativität. Technische Universität Chemnitz
6. ↑ Rules for Exponents and the Reasons for Them. (PDF; 344 kB) Western Michigan University