Normalisator

Der Normalisator ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie.

Definition

Es seien ${\displaystyle G}$ eine Gruppe und ${\displaystyle U}$ eine nichtleere Teilmenge von ${\displaystyle G}$. Der Normalisator von ${\displaystyle U}$ in ${\displaystyle G}$ ist definiert als

${\displaystyle N_{G}(U):=\left\{g\in G\mid gUg^{-1}=U\right\}}$.

Dabei ist ${\displaystyle gUg^{-1}=\left\{gug^{-1}\mid u\in U\right\}}$, entsprechend der Definition des Komplexproduktes.^[1][2]

Mit anderen Worten: Der Normalisator ${\displaystyle N_{G}(U)}$ besteht aus denjenigen ${\displaystyle g\in G}$, für die gilt, dass ${\displaystyle U}$ unter Konjugation mit ${\displaystyle g}$ invariant ist. (Man sagt, dass diese Elemente ${\displaystyle U}$ normalisieren.)

Man beachte, dass lediglich gefordert wird, dass ${\displaystyle U}$ als Ganzes festbleibt, im Allgemeinen gilt also für einzelne Elemente ${\displaystyle u\in U}$ und ${\displaystyle g\in N_{G}(U)}$ durchaus ${\displaystyle gug^{-1}\neq u}$; es gilt aber stets ${\displaystyle gug^{-1}\in U}$.

Eigenschaften

• Der Normalisator ist eine Untergruppe von ${\displaystyle G}$.^[3]
• Der Index des Normalisators ${\displaystyle N_{G}(U)}$ liefert die Anzahl der unterschiedlichen Konjugierten ${\displaystyle gUg^{-1}}$ der Menge ${\displaystyle U}$, d. h. ${\displaystyle |\{gUg^{-1}\mid g\in G\}|=[G:N_{G}(U)]}$.
• Eine Untergruppe ${\displaystyle U}$ ist stets Normalteiler in ihrem Normalisator ${\displaystyle N_{G}(U)}$.^[3] Genauer: ${\displaystyle N_{G}(U)}$ ist die bezüglich Inklusion größte Untergruppe von ${\displaystyle G}$, in der ${\displaystyle U}$ Normalteiler ist.
• Eine Untergruppe ist genau dann Normalteiler in ${\displaystyle G}$, wenn ihr Normalisator ganz ${\displaystyle G}$ ist.^[3]
• Man kann den Normalisator auch wie folgt einführen:
  Sei ${\displaystyle G}$ eine Gruppe. Man lasse ${\displaystyle G}$ auf der Potenzmenge von ${\displaystyle G}$ durch Konjugation operieren. Dann ist der Stabilisator dieser Operation für eine gegebene Teilmenge von ${\displaystyle G}$ gerade der Normalisator dieser Teilmenge.

Beispiel

Es sei ${\displaystyle G}$ die Gruppe der invertierbaren ${\displaystyle n\times n}$-Matrizen (mit reellen Einträgen) für eine natürliche Zahl ${\displaystyle n}$. Weiter sei ${\displaystyle U}$ die Untergruppe der Diagonalmatrizen. Dann ist der Normalisator von ${\displaystyle U}$ in ${\displaystyle G}$ die Gruppe der Matrizen, bei denen in jeder Zeile und in jeder Spalte genau ein Eintrag ungleich null ist. Der Quotient ${\displaystyle N_{G}(U)/U}$ ist isomorph zur symmetrischen Gruppe ${\displaystyle S_{n}}$.^[4]

Verwandte Begriffe

Fordert man, dass ${\displaystyle U}$ elementweise invariant unter der Konjugation mit Gruppenelementen ist, erhält man den stärkeren Begriff des Zentralisators ${\displaystyle Z_{G}(U)}$. Der Zentralisator ist ein Normalteiler im jeweiligen Normalisator.^[2]

Einzelnachweise

1. ↑ Kurt Meyberg: Algebra Teil 1. Karl Hanser Verlag, 1980, ISBN 3-446-13079-9, S. 52, Definition 1.8.6. 
2. ↑ ^{a b} Derek J. S. Robinson: A Course in the Theory of Groups. Springer, 1996, ISBN 1-4612-6443-X, S. 38 (englisch). 
3. ↑ ^{a b c} Kurt Meyberg: Algebra Teil 1. Karl Hanser Verlag, 1980, ISBN 3-446-13079-9, S. 53, Satz 1.8.7. 
4. ↑ Claudio Procesi: Lie Groups. An Approach through Invariants and Representations. Springer, 2007, ISBN 978-0-387-26040-2, S. 218, Kap. 4.8 Representations of Linearly Reductive Groups (englisch).