Hypergeometrische Funktion mit Matrix-Argument

Die hypergeometrische Funktion mit Matrix-Argument ist eine Verallgemeinerung der verallgemeinerten hypergeometrischen Funktion auf ein Matrix-Argument. Sie taucht häufig in der multivariaten Statistik und in der Theorie der Zufallsmatrizen bei der Berechnung multivariater Integrale auf.

Eine Schwierigkeit beim Berechnen der Funktion besteht darin, dass man Jack-Polynome mit Parameter α {\displaystyle \alpha } berechnen muss. Häufig interessiert man sich für den Fall α = 2 {\displaystyle \alpha =2} , welches die zonalen Polynome sind. Dies sind orthogonale Polynome und multivariate Verallgemeinerungen der Monome. Außerdem sind sie Eigenfunktionen eines Differentialoperators und Jack-Polynome mit einer C-Normalisierung. Es gibt unterschiedliche Definitionen und Berechnungsmöglichkeiten.

Auch wenn es sich bei der hypergeometrischen Funktion mit Matrix-Argument eigentlich um eine verallgemeinerte hypergeometrische Funktion handelt, so verzichtet man in der Literatur in der Regel auf den Zusatz verallgemeinert.

Definition

Sei

  • κ = ( k 1 , … , k p ) {\displaystyle \kappa =(k_{1},\dots ,k_{p})} eine Partition einer Zahl k ∈ N 0 {\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}} , das heißt, es gilt k = k 1 + ⋯ + k p {\displaystyle k=k_{1}+\dots +k_{p}} und k 1 ≥ ⋯ ≥ k p ≥ 0 {\displaystyle k_{1}\geq \cdots \geq k_{p}\geq 0} wobei k 1 , … , k p ∈ N 0 {\displaystyle k_{1},\dots ,k_{p}\in \mathbb {N} _{0}} .
  • l ( κ ) {\displaystyle l(\kappa )} die Länge der Partition κ {\displaystyle \kappa } , das heißt die Anzahl Folgenglieder, welche verschieden von Null sind (das bedeutet l ( ( 2 , 1 , 0 , 0 ) ) = 2 {\displaystyle l((2,1,0,0))=2} ),
  • ( a ) κ α {\displaystyle (a)_{\kappa }^{\alpha }} das verallgemeinertes Pochhammer-Symbol.
  • m , n ≥ 0 {\displaystyle m,n\geq 0} nicht-negative ganze Zahlen.

Seien a 1 , … , a m {\displaystyle a_{1},\dots ,a_{m}} und b 1 , … , b n {\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}} komplexe Zahlen und S {\displaystyle S} eine komplexe symmetrische Matrix mit Dimension r × r {\displaystyle r\times r} . Die hypergeometrische Funktion mit Matrix-Argument ist definiert als

m F n ( α ) ( a 1 , … , a m ; b 1 , … , b n ; S ) = ∑ k = 0 ∞ ∑ κ ⊢ k ( a 1 ) κ α ⋯ ( a m ) κ α ( b 1 ) κ α ⋯ ( b n ) κ α C κ ( α ) ( S ) k ! , {\displaystyle {}_{m}F_{n}^{(\alpha )}(a_{1},\ldots ,a_{m};b_{1},\ldots ,b_{n};S)=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{\kappa \vdash k}{\frac {(a_{1})_{\kappa }^{\alpha }\cdots (a_{m})_{\kappa }^{\alpha }}{(b_{1})_{\kappa }^{\alpha }\cdots (b_{n})_{\kappa }^{\alpha }}}{\frac {C_{\kappa }^{(\alpha )}(S)}{k!}},}

wobei κ ⊢ k {\displaystyle \kappa \vdash k} die Summation über alle Partitionen von k {\displaystyle k} ist und C κ ( α ) ( S ) {\displaystyle C_{\kappa }^{(\alpha )}(S)} das Jack-Polynom zum Parameter α {\displaystyle \alpha } von S {\displaystyle S} für κ {\displaystyle \kappa } ist.[1][2]

Erläuterungen

  • m F n ( α ) ( a 1 , … , a m ; b 1 , … , b n ; S ) {\displaystyle {}_{m}F_{n}^{(\alpha )}(a_{1},\ldots ,a_{m};b_{1},\ldots ,b_{n};S)} ist Skalar-wertig.
  • In der Statistik und in der Stochastik interessiert man sich vor allem für den Fall α = 2 {\displaystyle \alpha =2} , dann sind C κ ( 2 ) ( S ) {\displaystyle C_{\kappa }^{(2)}(S)} zonale Polynome respektive C-normalisierte Jack-Polynome.

Zweifaches Matrix-Argument

Analog definiert man die hypergeometrische Funktion für zwei symmetrische Matrizen S {\displaystyle S} und T {\displaystyle T} mit Dimension r × r {\displaystyle r\times r}

m F n ( α ) ( a 1 , … , a m ; b 1 , … , b n ; S , T ) = ∑ k = 0 ∞ ∑ κ ⊢ k ( a 1 ) κ α ⋯ ( a m ) κ α ( b 1 ) κ α ⋯ ( b n ) κ α 1 k ! C κ ( α ) ( S ) C κ ( α ) ( T ) C κ ( α ) ( I ) , {\displaystyle {}_{m}F_{n}^{(\alpha )}(a_{1},\ldots ,a_{m};b_{1},\ldots ,b_{n};S,T)=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{\kappa \vdash k}{\frac {(a_{1})_{\kappa }^{\alpha }\cdots (a_{m})_{\kappa }^{\alpha }}{(b_{1})_{\kappa }^{\alpha }\cdots (b_{n})_{\kappa }^{\alpha }}}{\frac {1}{k!}}{\frac {C_{\kappa }^{(\alpha )}(S)C_{\kappa }^{(\alpha )}(T)}{C_{\kappa }^{(\alpha )}(I)}},}

wobei I {\displaystyle I} die Identitätsmatrix der Dimension r × r {\displaystyle r\times r} ist.

Zonale Polynome

Sei X {\displaystyle X} eine r × r {\displaystyle r\times r} symmetrische Matrix mit Eigenwerten y 1 , … , y r {\displaystyle y_{1},\dots ,y_{r}} und κ = ( k 1 , … , k r ) {\displaystyle \kappa =(k_{1},\dots ,k_{r})} eine Partition von k {\displaystyle k} , welche nicht aus mehr als r {\displaystyle r} Teilen besteht. Die zonalen Polynome C κ ( 2 ) ( X ) {\displaystyle C_{\kappa }^{(2)}(X)} sind die Eigenfunktionen des Differentialoperators

Δ X = ∑ i = 1 r y i 2 ∂ 2 ∂ y i 2 + ∑ i = 1 r ∑ j = 1 i ≠ j r y i 2 y i − y j ∂ ∂ y i , {\displaystyle \Delta _{X}=\sum \limits _{i=1}^{r}y_{i}^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y_{i}^{2}}}+\sum \limits _{i=1}^{r}\sum \limits _{\begin{array}{c}j=1\\i\neq j\end{array}}^{r}{\frac {y_{i}^{2}}{y_{i}-y_{j}}}{\frac {\partial }{\partial y_{i}}},}

das heißt sie erfüllen die partielle Differentialgleichung

Δ X C κ ( 2 ) ( X ) = α C κ ( 2 ) ( X ) {\displaystyle \Delta _{X}C_{\kappa }^{(2)}(X)=\alpha C_{\kappa }^{(2)}(X)}

mit

α = ∑ i = 1 r k i ( k i − i ) + k ( r − 1 ) . {\displaystyle \alpha =\sum \limits _{i=1}^{r}k_{i}(k_{i}-i)+k(r-1).} [3]

Literatur

  • Arjun K. Gupta, D. K. Nagar: Matrix variate distributions. Chapman & Hall /CRC, 2000, ISBN 1-58488-046-5 (englisch). 
  • Robb J. Muirhead: Aspects of Multivariate Statistical Theory. Hrsg.: Wiley, Deutschland. 2009, S. 258. 

Einzelnachweise

  1. ↑ Robb J. Muirhead: Aspects of Multivariate Statistical Theory. Hrsg.: Wiley, Deutschland. 2009, S. 258. 
  2. ↑ Ioana Dumitriu, Alan Edelman und Gene Shuman: MOPS: Multivariate orthogonal polynomials (symbolically). In: Journal of Symbolic Computation. Band 42, Nr. 6, 2007, S. 603, doi:10.1016/j.jsc.2007.01.005. 
  3. ↑ Robb J. Muirhead: Aspects of Multivariate Statistical Theory. Hrsg.: Wiley, Deutschland. 2009, S. 228.