Heisenberg-Gruppe

Als Heisenberg-Gruppe bezeichnet man in der Mathematik eine bestimmte Gruppe von Matrizen sowie Verallgemeinerungen davon. Jede Heisenberg-Gruppe besitzt eine topologische Struktur und ist eine Lie-Gruppe.

Die Heisenberg-Gruppe wurde von Hermann Weyl eingeführt, um in der Quantenmechanik die Äquivalenz von Heisenberg-Bild und Schrödinger-Bild zu erklären.

Definition

Obere 3×3-Dreiecksmatrizen der Form

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$

mit Einträgen ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ und ${\displaystyle c}$, die einem (beliebigen) kommutativen Ring entstammen können, bilden eine Gruppe unter der üblichen Matrizenmultiplikation, die so genannte Heisenberg-Gruppe. Die Einträge entstammen dabei oft dem Ring der reellen Zahlen oder dem der ganzen Zahlen.

Eigenschaften

Man kann die Heisenberg-Gruppe mit Einträgen aus ${\displaystyle \mathbb {R} }$ als zentrale Erweiterung der Gruppe ${\displaystyle (\mathbb {R} \times \mathbb {R} ,+)}$ auffassen, was man am besten sieht, wenn man auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ durch

${\displaystyle (a,b,c)\cdot (a',b',c')=(a+a',b+b',c+c'+ab')}$

eine Gruppenmultiplikation definiert und

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&a'&c'\\0&1&b'\\0&0&1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&a+a'&c+c'+ab'\\0&1&b+b'\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$

beachtet.

Lie-Algebra

Die Lie-Algebra der Heisenberg-Gruppe ist die Heisenberg-Algebra.

Anwendung

In der Quantenmechanik hat die Heisenberg-Gruppe die Funktion einer Symmetriegruppe.

Verallgemeinerungen

Es gibt höherdimensionale verallgemeinerte Heisenberg-Gruppen. Als Matrizengruppe besteht die ${\displaystyle n}$-te Heisenberg-Gruppe aus den quadratischen oberen Dreiecksmatrizen der Größe ${\displaystyle n+2}$ der Gestalt

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&E_{n}&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$

wobei ${\displaystyle a}$ ein Zeilenvektor der Länge ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle b}$ ein Spaltenvektor der Länge ${\displaystyle n}$ und ${\displaystyle E_{n}}$ die ${\displaystyle n\times n}$-Einheitsmatrix ist.