Friedmann-Modell

Unter einem Friedmann-Modell oder Friedmann-Lemaître-Modell (benannt nach dem russischen Mathematiker und Meteorologen Alexander Friedmann und dem belgischen Astrophysiker Georges Lemaître)[1] versteht man in der Kosmologie Lösungen der Friedmann-Gleichung, d. h. eine Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen mit konstanter Krümmung, die um jeden Punkt räumlich isotrop ist.

Friedmann-Modelle unterscheiden sich durch den Parameter k {\displaystyle k} aus der Robertson-Walker-Metrik

  • k = + 1 {\displaystyle k=+1} : positive Krümmung
  • k = 0 {\displaystyle k=0} : keine Krümmung, flacher Raum
  • k = − 1 {\displaystyle k=-1} : negative Krümmung

und den Wert der kosmologischen Konstante Λ {\displaystyle \Lambda } .

Sonderfälle der Friedmann-Modelle

Einstein-Kosmos

Es handelt sich um ein nicht expandierendes oder kontrahierendes, statisches (gegenüber kleinen Änderungen instabiles) Universum mit

k = + 1 , Λ = Λ c   , {\displaystyle k=+1,\quad \Lambda =\Lambda _{c}\ ,}

wobei Λ c = 4 / ( κ M ) 2 {\displaystyle \Lambda _{c}=4/(\kappa M)^{2}} ist.[2]:158

Lemaître-Universum

k = + 1 , Λ = Λ c ( 1 + ϵ )   , {\displaystyle k=+1,\quad \Lambda =\Lambda _{c}(1+\epsilon )\ ,}

wobei ϵ {\displaystyle \epsilon } ein sehr kleiner Parameter ist. Durch die Wahl eines geeigneten ϵ {\displaystyle \epsilon } ist die Zeitskala der Expansion des Universums so gedehnt, dass zwischen zwei expandierenden Zeitphasen ein fast statisches Universum besteht.[2]:159

De-Sitter-Modell

Hauptartikel: De-Sitter-Modell
ρ = 0 , Λ > 0 {\displaystyle \rho =0,\quad \Lambda >0}

Die drei verschiedenen Werte für k {\displaystyle k} ergeben drei mögliche Modelle, die aber nur verschiedene Schnitte derselben Raumzeit sind.[2]:164

Einstein-de-Sitter-Modell

Das Einstein-de-Sitter-Universum ergibt sich mit

k = 0 , Λ = 0   . {\displaystyle k=0,\quad \Lambda =0\ .}

Für dieses flache, unendlich ausgedehnte Universum entwickelt sich der Parameter R {\displaystyle R} der Robertson-Walker-Metrik gerade mit R ∼ t 2 / 3 {\displaystyle R\sim t^{2/3}} .[2]:160

Einzelnachweise

  1. ↑ Hubert Goenner: Einsteins Relativitätstheorien: Raum, Zeit, Masse, Gravitation. C.H.Beck, 1999, ISBN 978-3-406-45669-5, S. 96 (google.de [abgerufen am 9. April 2012]). 
  2. ↑ a b c d R. Sexl, H. Urbantke: Gravitation und Kosmologie. 3., korrigierte Auflage. BI-Wissenschaftsverlag, Mannheim 1987, ISBN 3-411-03177-8.