Fakultät (Mathematik)

Die Fakultät (manchmal, besonders in Österreich, auch Faktorielle genannt) ist in der Mathematik diejenige Funktion, die jeder natürlichen Zahl das Produkt aller positiven natürlichen Zahlen zuordnet, die diese Zahl nicht übertreffen. Sie wird durch ein dem Funktionsargument nachgestelltes Ausrufezeichen („!“) abgekürzt. Ihre Notation mit dem Ausrufezeichen wurde erstmals 1808 von dem elsässischen Mathematiker Christian Kramp (1760–1826) verwendet, der um 1798 auch die Bezeichnung faculté = „Fähigkeit“ dafür einführte.

Definition

Für alle natürlichen Zahlen ${\displaystyle n}$ ist

${\displaystyle n!:=\prod _{k=1}^{n}k=1\cdot 2\cdot 3\dotsm n}$

als das Produkt der natürlichen Zahlen von ${\displaystyle 1}$ bis ${\displaystyle n}$ definiert.^[1] Da das leere Produkt stets gleich 1 ist, gilt

${\displaystyle 0!=1}$.

Die Fakultät lässt sich auch rekursiv definieren:^[2]

${\displaystyle n!={\begin{cases}1,&n=0,\\n\cdot (n-1)!,&n>0.\end{cases}}}$

Die Werte der Fakultäten bilden die Folge A000142 in OEIS.

Beispiele

Beispielhafte Berechnung der Fakultätswerte der ersten fünf natürlichen Zahlen:

${\displaystyle {\begin{array}{rll}0!&=1&=1\\1!&=1&=1\\2!&=1\cdot 2&=2\\3!&=1\cdot 2\cdot 3&=6\\4!&=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4&=24\\\end{array}}}$

Anwendungen

Permutationen

In der abzählenden Kombinatorik spielen Fakultäten eine wichtige Rolle, weil ${\displaystyle n!}$ die Anzahl der Möglichkeiten ist, ${\displaystyle n}$ unterscheidbare Gegenstände in einer Reihe anzuordnen. Falls ${\displaystyle X}$ eine ${\displaystyle n}$-elementige Menge ist, so ist ${\displaystyle n!}$ auch die Anzahl der bijektiven Abbildungen ${\displaystyle X\to X}$, also die Anzahl der Permutationen von ${\displaystyle X}$. Dies gilt insbesondere auch für den Fall ${\displaystyle n=0}$, da es genau eine Möglichkeit gibt, die leere Menge auf sich selbst abzubilden.

Beispielsweise gibt es bei einem Autorennen mit sechs Fahrern ${\displaystyle 6!}$ verschiedene Möglichkeiten für die Reihenfolge beim Zieleinlauf, wenn alle Fahrer das Ziel erreichen. Für den ersten Platz kommen alle sechs Fahrer in Frage. Ist der erste Fahrer angekommen, können nur noch fünf Fahrer um den zweiten Platz konkurrieren. Für die Belegung des zweiten Platzes ist es maßgeblich, welcher der sechs Fahrer nicht berücksichtigt werden muss (da er bereits auf Rang 1 platziert ist). Daher muss für jede Belegungsmöglichkeit von Platz 1 gesondert gezählt werden, wie viele Belegungsmöglichkeiten für Platz 2 bestehen. Für die Belegung der Plätze 1 und 2 ergeben sich bei sechs Fahrern daher ${\displaystyle 6\cdot 5=30}$ Möglichkeiten. Ist auch der zweite Platz vergeben, kommen für den dritten Platz nur noch vier Fahrer in Frage, woraus sich für die ersten drei Plätze und sechs Fahrer ${\displaystyle 6\cdot 5\cdot 4=120}$ Belegungsmöglichkeiten ergeben usw. Letztlich gibt es also

${\displaystyle 6!=6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=720}$

verschiedene Ranglisten für den Zieleinlauf.

Binomialkoeffizienten

Ein Begriff, der in der abzählenden Kombinatorik eine ähnlich zentrale Stellung wie die Fakultät einnimmt, ist der Binomialkoeffizient

${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}}$.

Er gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, aus einer ${\displaystyle n}$-elementigen Menge eine ${\displaystyle k}$-elementige Teilmenge auszuwählen. Umgekehrt gilt

${\displaystyle n!=\sum _{i=0}^{n-1}(-1)^{i}{\binom {n}{n-i}}(n-i)^{n}}$.

Zum Beispiel gibt es beim Zahlenlotto 6 aus 49 insgesamt 13983816 Möglichkeiten, sich sechs verschiedene Kugeln auszusuchen:

${\displaystyle {49 \choose 6}={\frac {49!}{6!\,(49-6)!}}=13\,983\,816}$

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, bei dem Lottospiel 6 aus 49 zu gewinnen, nur 1/13983816 und somit weniger als ein Zehnmillionstel beträgt.

Ein anderes Beispiel ist ein Sack voller farbiger Murmeln. Die Wahrscheinlichkeit, aus insgesamt ${\displaystyle {\color {red}\mathrm {a} }}$ roten, ${\displaystyle {\color {green}\mathrm {b} }}$ grünen und ${\displaystyle {\color {blue}\mathrm {c} }}$ blauen Murmeln genau ${\displaystyle {\color {Red}\mathrm {d} }}$ rote, ${\displaystyle {\color {Green}\mathrm {e} }}$ grüne und ${\displaystyle {\color {Blue}\mathrm {f} }}$ blaue Murmeln zu ziehen, wobei man insgesamt ${\displaystyle \mathrm {d} +\mathrm {e} +\mathrm {f} }$ Murmeln herausnehmen soll, hat folgenden Wert:

${\displaystyle P={\binom {\color {red}a}{\color {Red}d}}{\binom {\color {green}b}{\color {Green}e}}{\binom {\color {blue}c}{\color {Blue}f}}\div {\binom {{\color {red}a}+{\color {green}b}+{\color {blue}c}}{{\color {Red}d}+{\color {Green}e}+{\color {Blue}f}}}={\frac {a!\,b!\,c!\,(d+e+f)!\,(a+b+c-d-e-f)!}{d!\,e!\,f!\,(a-d)!\,(b-e)!\,(c-f)!\,(a+b+c)!}}}$

Wenn beispielsweise aus einem Murmelsack mit insgesamt ${\displaystyle {\color {red}\mathrm {4} }}$ roten, ${\displaystyle {\color {green}\mathrm {5} }}$ grünen und ${\displaystyle {\color {blue}\mathrm {6} }}$ blauen Murmeln genau sechs Murmeln blind herausgenommen werden sollen, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den sechs herausgenommenen Murmeln genau ${\displaystyle {\color {Red}\mathrm {1} }}$ rote, ${\displaystyle {\color {Green}\mathrm {2} }}$ grüne und ${\displaystyle {\color {Blue}\mathrm {3} }}$ blaue Murmeln befinden, exakt ${\displaystyle 160/1001}$:

${\displaystyle P={\binom {\color {red}4}{\color {Red}1}}{\binom {\color {green}5}{\color {Green}2}}{\binom {\color {blue}6}{\color {Blue}3}}\div {\binom {{\color {red}4}+{\color {green}5}+{\color {blue}6}}{{\color {Red}1}+{\color {Green}2}+{\color {Blue}3}}}={\frac {4\cdot 10\cdot 20}{5005}}={\frac {160}{1001}}=0{,}{\overline {159840}}\approx 16\ \%}$

Geburtstagsproblem

Das Geburtstagsproblem ist ein stochastisch-kombinatorisches Rätsel über die Fakultät. Bei diesem Rätsel geht es um die Wahrscheinlichkeit, mit der in einer gegebenen Gruppe von insgesamt ${\displaystyle n}$ Personen mindestens zwei Personen am gleichen Tag Geburtstag haben. Der Einfachheit halber geht man dabei von Nicht-Schaltjahren, also Jahren mit 365 Tagen aus. In Abhängigkeit von der Personenzahl ${\displaystyle n}$ wird diese Wahrscheinlichkeit mit dieser Formel berechnet:

${\displaystyle P(n)=1-{\frac {365!}{(365-n)!\ 365^{n}}}}$

Beispielsweise beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass unter zehn Personen ein gemeinsamer Geburtstag auftaucht, mehr als zehn Prozent, und die Wahrscheinlichkeit, dass unter fünfzehn Personen ein gemeinsamer Geburtstag auftaucht, mehr als fünfundzwanzig Prozent:^[3]

${\displaystyle P(10)=1-{\frac {365!}{355!\,365^{10}}}\approx 0{,}1169481777110776}$

${\displaystyle P(15)=1-{\frac {365!}{350!\,365^{15}}}\approx 0{,}2529013197636863}$

Taylorsche Reihen und Eulersche Zahl

Eine prominente Stelle, an der Fakultäten vorkommen, sind die Taylorreihen glatter Funktionen wie zum Beispiel der Sinusfunktion und der Exponentialfunktion.

Die Exponentialfunktion hat die einfachste aller Taylorreihen mit Fakultäten in Abhängigkeit vom Index im Nenner des Summanden:

${\displaystyle \exp(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\dotsb }$

Auch die Funktionen Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus haben vorzeichengleiche Reihen, während die Funktionen Sinus und Kosinus alternierende Reihen haben:

${\displaystyle \sinh(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{2k+1}}{(2k+1)!}}}$	${\displaystyle \sin(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{(2k+1)!}}}$
${\displaystyle \cosh(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}}$	${\displaystyle \cos(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k}}{(2k)!}}}$

Die Eulersche Zahl ${\displaystyle \mathrm {e} }$ lässt sich als Summe der Kehrwerte der Fakultäten definieren:

${\displaystyle \mathrm {e} =\exp(1)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\dotsb \approx 2{,}71828182845904523536}$

Der Kehrwert der Eulerschen Zahl wird durch die alternierende Differenz desselben Musters hervorgebracht:

${\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {e} }}={\frac {1}{\exp(1)}}=\exp(-1)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}={\frac {1}{0!}}-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}\pm \dotsb \approx 0{,}3678794411714423215955}$

Wenn auf die gleiche Weise die Taylorschen Reihen mit den Quadraten der Fakultäten im Nenner in Abhängigkeit vom Index hervorgerufen werden, dann sind die zugehörigen erzeugenden Funktionen die Besselschen Funktionen aus der Gruppe der nicht elementaren Funktionen:

${\displaystyle I_{0}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{2k}}{4^{k}(k!)^{2}}}=\int _{0}^{\pi }{\frac {1}{\pi }}\cosh {\bigl [}x\sin(y){\bigr ]}\,\mathrm {d} y}$

${\displaystyle J_{0}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k}}{4^{k}(k!)^{2}}}=\int _{0}^{\pi }{\frac {1}{\pi }}\cos {\bigl [}x\sin(y){\bigr ]}\,\mathrm {d} y}$

Die Besselschen Funktionen spielen in der Physik eine sehr wichtige Rolle. So tauchen sie in der Mechanik bei der Ausbreitung von Wasserwellen in runden Behältern, in der Thermodynamik bei der Wärmeleitung in Stäben, in der Elektrodynamik bei der Feldverteilung im Querschnitt von Rundhohlleitern, in der Optik bei der Intensität von Lichtbeugung an kreisförmigen Löchern und in der Atomphysik bei der Leistungsverteilung in Kernreaktoren auf.

Numerische Berechnung und Näherung

Rekursive und iterative Berechnung

Der numerische Wert für ${\displaystyle n!}$ kann gut rekursiv oder iterativ berechnet werden, falls ${\displaystyle n}$ nicht zu groß ist.

Die größte Fakultät, die von den meisten handelsüblichen Taschenrechnern berechnet werden kann, ist ${\displaystyle 69!\approx 1{,}7\cdot 10^{98},}$ da ${\displaystyle 70!\approx 1{,}2\cdot 10^{100}}$ außerhalb des üblicherweise verfügbaren Zahlenbereiches liegt. Die größte als Gleitkommazahl im Format double precision des IEEE-754-Standards darstellbare Fakultät ist ${\displaystyle 170!\approx 7{,}3\cdot 10^{306}}$.

Pythonprogramm

Mit Bibliotheken für sehr große Ganzzahlen (keine Limitierung auf 32, 64 oder z. B. 512 Bit) benötigt zum Beispiel ein Intel Pentium 4 für die Berechnung von 10000! nur wenige Sekunden. Die Zahl hat 35660 Stellen in der Dezimaldarstellung, wobei die letzten 2499 Stellen nur aus der Ziffer Null bestehen.

# Syntax: Python 3.7
n = int(input('Fakultät von n = '))
f = 1
for i in range(1, n + 1):
    f *= i
print(f'{n}! = {f}')

Rekursive Lösung

def fak(n: int) -> int:
    return 1 if n <= 1 else n * fak(n - 1)

Näherung mit der Stirling-Formel

Wenn ${\displaystyle n}$ groß ist, bekommt man eine gute Näherung für ${\displaystyle n!}$ mit Hilfe der Stirling-Formel:

${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\cdot \left({\frac {n}{\mathrm {e} }}\right)^{n}}$

Dabei bedeutet ${\displaystyle \sim }$, dass der Quotient aus linker und rechter Seite für ${\displaystyle n\to \infty }$ gegen ${\displaystyle 1}$ konvergiert.

Durch Approximation (statt Abschneiden) der Stirling-Reihe gelang Bill Gosper eine noch bessere Näherung:^[4]

${\displaystyle n!\sim {\sqrt {(2n+{\frac {1}{3}})\ \pi }}\cdot \left({\frac {n}{\mathrm {e} }}\right)^{n}}$

Fakultät-ähnliche Funktionen

Es gibt eine Reihe weiterer Folgen und Funktionen, die in ihrer Definition oder ihren Eigenschaften ähnlich aussehen wie die Fakultät:

Gammafunktion

Die Gammafunktion ${\displaystyle \Gamma (z)}$ verallgemeinert die Fakultät und ist eine stetige Fortsetzung ihres Definitionsbereichs von den natürlichen hin zu den komplexen Zahlen:^[5]

${\displaystyle z!=\Gamma (z+1)}$ für ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ und ${\displaystyle \Re {(z)}>0}$

${\displaystyle \Gamma (z)=\int \limits _{0}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\mathrm {d} t=\int _{0}^{1}{(-\log {t})^{z-1}\mathrm {d} t}}$

Für ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z_{\leq 0}} }$ kann die Gammafunktion folgendermaßen erweitert werden:^[6]

${\displaystyle \Gamma (z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!(n+z)}}+\int _{1}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\mathrm {d} t}$

Faktorielle

Eine kombinatorische Verallgemeinerung stellen die steigenden und fallenden Faktoriellen ${\displaystyle (n)_{k}}$ und ${\displaystyle (n)^{k}}$ dar, denn ${\displaystyle (n)_{n}=(1)^{n}=n!}$.

Primorial (Primfakultät)

Die Primfakultät einer Zahl ist das Produkt der Primzahlen kleiner oder gleich der Zahl:

${\displaystyle n_{\#}=\prod _{\scriptstyle p\,=\,2 \atop \scriptstyle p\,\in \,\mathbb {P} }^{n}p\quad }$

Subfakultät

Die vor allem in der Kombinatorik auftretende Subfakultät

${\displaystyle !n=n!\cdot \sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}}$

bezeichnet die Anzahl aller fixpunktfreien Permutationen von ${\displaystyle n}$ Elementen.

Doppelfakultät

Definition

Die seltener verwendete Doppelfakultät oder doppelte Fakultät ist für gerade ${\displaystyle n}$ das Produkt aller geraden Zahlen kleiner gleich ${\displaystyle n}$. Für ungerade ${\displaystyle n}$ ist es das Produkt aller ungeraden Zahlen kleiner gleich ${\displaystyle n}$.

Sie ist definiert als:^[7]

${\displaystyle n!!={\begin{cases}n\cdot (n-2)\cdot (n-4)\dotsm 2&{\text{für }}n{\text{ gerade und }}n>0,\\n\cdot (n-2)\cdot (n-4)\dotsm 1&{\text{für }}n{\text{ ungerade und }}n>0,\\1&{\text{für }}n\in \{-1,0\}\end{cases}}}$

Oft werden anstelle der Doppelfakultät Ausdrücke mit der gewöhnlichen Fakultät verwendet. Es gilt:

${\displaystyle (2k)!!=2^{k}k!}$

${\displaystyle (2k-1)!!={\frac {(2k)!}{2^{k}k!}}}$

Werden nicht-ganzzahlige Funktionswerte zugelassen, dann gibt es genau eine Erweiterung auf negative ungerade Zahlen, sodass ${\displaystyle n!!=n\cdot (n-2)!!}$ für alle ungeraden ganzen Zahlen ${\displaystyle n}$ gilt. Man erhält die Formel ${\displaystyle n!!={\tfrac {1}{n+2}}\cdot {\tfrac {1}{n+4}}\dotsm {\tfrac {1}{1}}}$ für ungerade ${\displaystyle n<0}$.

Die Werte der Doppelfakultäten bilden die Folge A006882 in OEIS.

Beispiele

• ${\displaystyle 6!!=6\cdot 4\cdot 2=48}$
• ${\displaystyle 7!!=7\cdot 5\cdot 3\cdot 1=105}$

Anwendungsbeispiele

• Die Anzahl ${\displaystyle P_{2n}}$ der ${\displaystyle n}$-stelligen Kombinationen aus elementfremden Paaren gebildet aus ${\displaystyle 2n}$ Elementen wird gegeben durch die Rekursion ${\displaystyle P_{2n}=(2n-1)P_{2n-2}}$ mit Rekursionsanfang ${\displaystyle P_{2}=1}$ (2 Elemente!). Auflösung der Rekursion ergibt ${\displaystyle P_{2n}=(2n-1)!!}$. Sollen z. B. ${\displaystyle 2n}$ Mannschaften durch Verlosung paarweise aufeinandertreffen, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei zwei bestimmte gegeneinander spielen, gegeben durch ${\displaystyle {\frac {P_{2n-2}}{P_{2n}}}={\frac {1}{2n-1}}}$.
• Die Anzahl der Elemente der Hyperoktaedergruppe ${\displaystyle B_{n}}$ ist ${\displaystyle (2n-1)!!}$.
• Die Anzahl der fixpunktfreien involutorischen Permutationen von ${\displaystyle 2n}$ Elementen ist ${\displaystyle (2n)!!}$.
• Das ${\displaystyle 2n}$-te Moment der Standardnormalverteilung ist ${\displaystyle (2n-1)!!}$.
• Auch in Integraltafeln und Formeln für spezielle Funktionen tritt die Doppelfakultät auf.
• Für natürliche ${\displaystyle n}$ gilt ${\displaystyle (2n-1)!!={\frac {2^{n}}{\sqrt {\pi }}}\Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)}$.

Multifakultät

Analog zur doppelten Fakultät wird eine dreifache (${\displaystyle n!!!}$), vierfache (${\displaystyle n!!!!}$), …, ${\displaystyle k}$-fache Fakultät (${\displaystyle n!^{(k)}}$) rekursiv definiert:^[8]

${\displaystyle n!^{(k)}:={\begin{cases}1&{\text{falls }}n=0\\n&{\text{falls }}0<n\leq k\\n(n-k)!^{(k)}&{\text{falls }}n>k\end{cases}}}$

Weitere verwandte Funktionen

• Smarandache-Funktion
• Superfakultät
• Hyperfakultät

Primzahlexponenten

Falls nicht die vollständige Zahl ${\displaystyle n!}$ gesucht ist, sondern nur der Exponent einer ihrer Primfaktoren, lässt sich dieser direkt und effizient ermitteln.

${\displaystyle v_{p}(n!)={\begin{cases}0&{\text{falls }}n<p\\\lfloor n/p\rfloor +v_{p}(\lfloor n/p\rfloor !)&{\text{sonst}}\end{cases}}}$

Hier steht ${\displaystyle v_{p}(k)}$ für den Exponenten von ${\displaystyle p}$ in der Primfaktorzerlegung von ${\displaystyle k}$.

Im obigen Beispiel wäre für die Anzahl der Nullen am Ende von 10.000! der Exponent der 5 zu bestimmen, der Exponent der 2 ist auf jeden Fall größer.

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{5}(10{.}000!)&=2000+v_{5}(2000!)\\&=2000+400+v_{5}(400!)\\&=2000+400+80+v_{5}(80!)\\&=2000+400+80+16+v_{5}(16!)\\&=2000+400+80+16+3+v_{5}(3!)\\&=2000+400+80+16+3+0\\&=2499\end{aligned}}}$

Literatur

• Leonhard Euler: Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques. (1749), in Histoire de l’Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres 17 (1761), 1768, S. 96/97 (französisch).
• Leonhard Euler: Evolutio formulae integralis ${\displaystyle \displaystyle \textstyle \int \!x^{f-1}\mathrm {d} x(lx)^{\frac {m}{n}}}$ integratione a valore x=0 ad x=1 extensa. 4. Juli 1771, in Novi commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae 16, 1772, S. 121 (lateinisch).
• Adrien-Marie Legendre: Recherches sur diverses sortes d’intégrales définies. (13. November 1809), in Mémoires de la classe des sciences mathématiques et physiques de l’Institut de France 10, 1809, S. 485 (französisch).
• Hermann Kinkelin: Ueber eine mit der Gammafunction verwandte Transcendente und deren Anwendung auf die Integralrechnung. (Juli 1856), in: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57, 1860, S. 122–138 (beim GDZ: digizeitschriften.de).
• J. W. L. Glaisher: On the Product 1¹.2².3³...nⁿ. In: The Messenger of Mathematics 7, 1878, S. 43–47 (englisch); Textarchiv – Internet Archive.

Weblinks

Wiktionary: Fakultät – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Fakultät – Lern- und Lehrmaterialien

• Peter Luschny: The Homepage of Factorial Algorithms. Effiziente Algorithmen und weitere Informationen (englisch).
• Eric W. Weisstein: Factorial. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

1. ↑ Ilja Nikolajewitsch Bronstein, Konstantin Adolfowitsch Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 5. Auflage. Verlag Harri Deutsch, 2001, ISBN 3-8171-2005-2, S. 13. 
2. ↑ Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel: Mathematik. 5. Auflage. Springer, Berlin 2023, ISBN 978-3-662-64388-4, S. 77. 
3. ↑ Alfred S. Posamentier: Math Wonders To inspire Teachers and Students (Kapitel 7.4: Birthday Matches). (PDF) In: arvindguptatoys.com. S. 220 ff., abgerufen am 7. Februar 2024. 
4. ↑ Eric W. Weisstein: Stirling's Approximation. In: MathWorld (englisch).
5. ↑ Leonhard Euler: De progressionibus transcendentibus, seu quarum termini generales algebraice dari nequeunt. (28. November 1729), Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae 5, 1738, S. 36–57 (lateinisch).
6. ↑ E. Freitag, R. Busam: Funktionentheorie. Springer-Verlag, ISBN 3-540-31764-3, S. 225. 
7. ↑ Eric W. Weisstein: Double Factorial. In: MathWorld (englisch).
8. ↑ Eric W. Weisstein: Multifactorial. In: MathWorld (englisch).