Die eulersche Phi-Funktion (andere Schreibweise: Eulersche φ-Funktion, auch eulersche Funktion genannt) ist eine zahlentheoretische Funktion. Sie gibt für jede positive natürliche Zahl an, wie viele zu teilerfremde positive natürliche Zahlen es gibt, die nicht größer als sind (auch als Totient von bezeichnet).
Ihr Funktionswert ist gleich der Anzahl der zu teilerfremden Reste modulo . Für liegt er im Bereich .
Der Name Phi-Funktion geht auf Leonhard Euler zurück.
Die Phi-Funktion entscheidet über die Konstruierbarkeit eines Polygons in Abhängigkeit von der Anzahl der Ecken des Vielecks . Genau dann, wenn der Phi-Funktionswert von der Anzahl der Ecken des betroffenen Polygons eine Zweierpotenz ist, ist das -Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar. Dies ist genau dann der Fall, wenn das Produkt einer Zweierpotenz und paarweise verschiedener Fermatscher Primzahlen ist.
Eine andere, trivialerweise äquivalente, Schreibweise ist die Darstellung als Summe:
Beispiele
Die Zahl 1 enthält als Leeres Produkt keinen Primfaktor und ist zu allen Zahlen, auch zu sich selbst, teilerfremd, also ist
Die Zahl 6 ist zu genau zwei der sechs Zahlen von 1 bis 6 teilerfremd (nämlich zu 1 und zu 5), also ist
Die Zahl 13 ist als Primzahl zu jeder der zwölf Zahlen von 1 bis 12 teilerfremd (aber natürlich nicht zu 13), also ist
Die ersten 99 Werte der Phi-Funktion lauten:
+0
+1
+2
+3
+4
+5
+6
+7
+8
+9
00+
01
01
02
02
04
02
06
04
06
10+
04
10
04
12
06
08
08
16
06
18
20+
08
12
10
22
08
20
12
18
12
28
30+
08
30
16
20
16
24
12
36
18
24
40+
16
40
12
42
20
24
22
46
16
42
50+
20
32
24
52
18
40
24
36
28
58
60+
16
60
30
36
32
48
20
66
32
44
70+
24
70
24
72
36
40
36
60
24
78
80+
32
54
40
82
24
64
42
56
40
88
90+
24
72
44
60
46
72
32
96
42
60
Eigenschaften
Multiplikative Funktion
Die Phi-Funktion ist eine multiplikative zahlentheoretische Funktion, sodass für teilerfremde Zahlen und
gilt. Ein Beispiel dazu:
Ein geometrisch ausschlaggebendes weiteres Beispiel hierfür lautet:
Das bedeutet, dass das reguläre 85-Eck sehr wohl mit Zirkel und Lineal konstruiert werden kann.
Denn der Phi-Funktionswert von der 85, also die 64 ist eine Zweierpotenz.
Eigenschaften
Die Funktion ordnet jedem die Anzahl der Einheiten im Restklassenring zu, also die Ordnung der primen Restklassengruppe.
Denn ist eine Einheit, also so gibt es ein mit was äquivalent zu also zur Existenz einer ganzen Zahl mit ist. Nach dem Lemma von Bézout ist dies äquivalent zur Teilerfremdheit von und
ist für stets eine gerade Zahl.
Ist die Anzahl der Elemente im Bild die nicht größer als sind, dann gilt Das Bild der Phi-Funktion besitzt also die natürliche Dichte 0.
Da eine Primzahl nur durch 1 und sich selbst teilbar ist, ist sie zu den Zahlen 1 bis teilerfremd. Weil sie größer als 1 ist, ist sie außerdem nicht zu sich selbst teilerfremd. Es gilt daher
Potenz von Primzahlen
Eine Potenz mit einer Primzahl als Basis und dem Exponenten hat nur den einen Primfaktor Daher hat nur mit Vielfachen von einen von 1 verschiedenen gemeinsamen Teiler. Im Bereich von 1 bis sind das die Zahlen
.
Das sind Zahlen, die nicht teilerfremd zu sind. Für die eulersche -Funktion gilt deshalb
↑Wolfgang Schramm: The Fourier transform of functions of the greatest common divisor. In: Integers Electronic Journal of Combinatorial Number Theory. 8. Jahrgang. University of West Georgia, Karls-Universität Prag, 2008, S.A50 (colgate.edu [abgerufen am 31. Mai 2021]).
↑Johannes Buchmann: Einführung in die Kryptographie. Theorem 3.8.4.