Erweiterte Matrix

In der linearen Algebra erhält man eine erweiterte Matrix durch Aneinanderreihen mehrerer gegebener Matrizen, normalerweise um die gleichen elementaren Zeilenoperationen für die Matrizen durchzuführen.

Definition

Mit ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ als

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&2\\2&0&1\\5&2&2\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}4\\3\\1\end{bmatrix}}}$

ist die erweiterte Matrix ${\displaystyle (A|B)}$ geschrieben als

${\displaystyle (A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&3&2&4\\2&0&1&3\\5&2&2&1\end{array}}\right].}$

Erweiterte Matrizen sind nützlich, um lineare Gleichungssysteme zu lösen.

Für eine gegebene Anzahl an Unbekannten hängt die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems nur von dem Rang der Matrix, die das Gleichungssystem repräsentiert, ab. Laut dem Satz von Kronecker-Capelli hat ein lineares Gleichungssystem, bei dem die Erweiterte Matrix einen höheren Rang hat als die Koeffizientenmatrix keine Lösung; falls die beiden Matrizen allerdings den gleichen Rang haben, so muss mindestens eine Lösung existieren. Die Lösung ist aber nur dann eindeutig, wenn der Rang und die Anzahl der Variablen gleich ist. Ansonsten hat die Lösung ${\displaystyle k}$ Parameter, wobei ${\displaystyle k}$ die Differenz zwischen der Anzahl der Variablen und dem Rang ist, in solchen Fällen gibt es also unendlich viele Lösungen.

Eine erweiterte Matrix kann auch zum Finden der inversen Matrix genutzt werden, indem man sie mit der Identitätsmatrix kombiniert.

Finden der Inversen einer Matrix

Sei ${\displaystyle C}$ die quadratische 2×2-Matrix

${\displaystyle C={\begin{bmatrix}1&3\\-5&0\end{bmatrix}}}$.

Um die Umkehrung zu finden, erstellt man ${\displaystyle (C|I)}$, wobei ${\displaystyle I}$ die 2×2-Einheitsmatrix ist. Man reduziert den Teil von ${\displaystyle (C|I)}$, der zu ${\displaystyle C}$ gehört, zu der Einheitsmatrix, indem man nur elementare Zeilenoperationen auf ${\displaystyle (C|I)}$ anwendet:

${\displaystyle (C|I)=\left[{\begin{array}{cc|cc}1&3&1&0\\-5&0&0&1\end{array}}\right]}$

${\displaystyle (I|C^{-1})=\left[{\begin{array}{cc|cc}1&0&0&-{\frac {1}{5}}\\0&1&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{15}}\end{array}}\right]}$

Der rechte Teil ist nun die Inverse von ${\displaystyle C}$

Existenz und Anzahl an Lösungen

Man betrachte folgendes lineares Gleichungssystem

${\displaystyle {\displaystyle {\begin{aligned}x+y+2z&=3\\x+y+z&=1\\2x+2y+2z&=2.\end{aligned}}}}$

Die Koeffizientenmatrix ist

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1&2\\1&1&1\\2&2&2\\\end{bmatrix}},}$

und die erweiterte Matrix ist

${\displaystyle (A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&1&2&3\\1&1&1&1\\2&2&2&2\end{array}}\right].}$

Da beide denselben Rang 2 haben, existiert mindestens eine Lösung; und da der Rang beider Matrizen geringer als die Anzahl an Variablen ist, welche 3 ist, gibt es unendlich viele Lösungen.

Im Vergleich dazu betrachte man folgendes Gleichungssystem

${\displaystyle {\displaystyle {\begin{aligned}x+y+2z&=3\\x+y+z&=1\\2x+2y+2z&=5.\end{aligned}}}}$

Die Koeffizientenmatrix ist

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1&2\\1&1&1\\2&2&2\\\end{bmatrix}},}$

und die erweiterte Matrix ist

${\displaystyle (A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&1&2&3\\1&1&1&1\\2&2&2&5\end{array}}\right].}$

Bei diesem Beispiel hat die Koeffizientenmatrix den Rang 2, während die erweiterte Matrix den Rang 3 hat. Das Gleichungssystem hat also keine Lösung. Tatsächlich hat der Anstieg der linear unabhängigen Reihen das Gleichungssystem inkonsistent gemacht.

Literatur

• A. Blickensdörfer-Ehlers, W.G. Eschmann, H Neunzert, K. Schelkes: Analysis 2: Mit einer Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung Ein Lehr- und Arbeitsbuch. Springer, 1982, S. 86–91
• Marvin Marcus and Henryk Minc: A survey of matrix theory and matrix inequalities. Dover Publications, 1992, ISBN 0-486-67102-X, S. 31

Weblinks

• Augmented Matrices bei Paul’s Online Notes (Uniskript, englisch)
• Eric W. Weisstein: Augmented Matrix. In: MathWorld (englisch).