Endlich erzeugte Gruppe

Eine endlich erzeugte Gruppe ist ein Objekt aus dem mathematischen Teilgebiet der abstrakten Algebra. Es handelt sich um einen Spezialfall einer Gruppe.

Definition

Eine Gruppe $G$ heißt endlich erzeugt (oder auch: endlich erzeugbar), falls es eine endliche Teilmenge $S\subset G$ gibt, die $G$ erzeugt. Dies bedeutet, dass $G$ die kleinste Untergruppe von $G$ ist, die $S$ enthält. Die Teilmenge $S$ nennt man Erzeugendensystem von $G$ .

Bemerkungen

Mit $\langle S\rangle$ notiert man oftmals die von $S$ erzeugte Gruppe. Das Erzeugendensystem einer endlich erzeugten Gruppe ist jedoch nicht eindeutig.
In der Algebra betrachtet man insbesondere endlich erzeugte abelsche Gruppen, da man diese recht einfach klassifizieren kann.
Die endlichen Gruppen sind insbesondere endlich erzeugt, die Endlichkeit der Gruppe ist hinreichend für ihre endliche Erzeugbarkeit, aber nicht notwendig.
Notwendig für die endliche Erzeugbarkeit ist, dass die Gruppe eine abzählbare Menge ist. Dies ist aber nicht hinreichend.

Beispiele und Gegenbeispiele

Die ganzen Zahlen $(\mathbb {Z} ,+)$ sind eine endlich erzeugte Gruppe mit Erzeugendensystem $\{1\}$ .
Allgemeiner sind alle zyklischen Gruppen endlich erzeugte Gruppen.
Die Menge der positiven rationalen Zahlen $(\mathbb {Q} ^{+},\cdot )$ bildet mit der Multiplikation eine Gruppe, die kein endliches Erzeugendensystem besitzt, also nicht endlich erzeugbar ist. Ein minimales Erzeugendensystem dieser Gruppe bildet die abzählbare Menge der Primzahlen.
Jede freie Gruppe über einer endlichen, mindestens zweielementigen Menge S ist nicht kommutativ, endlich erzeugt – S ist ein Erzeugendensystem – und abzählbar unendlich.