Eigenraum

Eigenraum ist ein Begriff aus der linearen Algebra. Er bezeichnet die lineare Hülle der Eigenvektoren zu einem bestimmten Eigenwert eines Endomorphismus. Die Eigenvektoren – zusammen mit dem Nullvektor – spannen damit einen Untervektorraum auf.

Eine Verallgemeinerung des Eigenraums ist der Hauptraum. Hat ein Eigenwert die algebraische Vielfachheit 1, so sind für diesen Eigenwert Eigenraum und Hauptraum gleich.

Definition

Sei ${\displaystyle V}$ ein Vektorraum über einem Körper ${\displaystyle K}$ und ${\displaystyle \varphi \in \operatorname {End} (V)}$ ein Endomorphismus, das heißt eine lineare Abbildung ${\displaystyle \varphi \colon V\to V}$. Der Eigenraum ${\displaystyle E(\lambda )}$ zum Eigenwert ${\displaystyle \lambda }$ von ${\displaystyle \varphi }$ ist dann

${\displaystyle {\begin{aligned}E(\lambda )&:=\operatorname {Kern} (\varphi -\lambda \operatorname {id} _{V})\\&=\left\{x\in V\mid \varphi (x)=\lambda x\right\}\\&=\left\{x\in V\mid x\neq 0,\ \varphi (x)=\lambda x\right\}\cup \left\{0\right\}\end{aligned}}}$

Dabei bezeichnet ${\displaystyle \operatorname {id} _{V}}$ die Identitätsabbildung auf ${\displaystyle V}$.

Man sagt dann auch, ${\displaystyle E\left(\lambda \right)\subseteq V}$ ist invariant bezüglich des Endomorphismus ${\displaystyle \varphi }$ oder ${\displaystyle E\left(\lambda \right)}$ ist ein ${\displaystyle \varphi }$-invarianter Untervektorraum von ${\displaystyle V}$. Die Elemente ${\displaystyle x}$ von ${\displaystyle E\left(\lambda \right)}$ sind dann die Eigenvektoren zum Eigenwert ${\displaystyle \lambda }$ von ${\displaystyle \varphi }$, sowie der Nullvektor.

Geometrische Vielfachheit

Die Dimension des Eigenraums ${\displaystyle E\left(\lambda \right)}$ wird als geometrische Vielfachheit von ${\displaystyle \lambda }$ bezeichnet. Sie ist dabei stets mindestens 1 und höchstens gleich der algebraischen Vielfachheit von ${\displaystyle \lambda }$. Wenn die Dimension des Eigenraums ${\displaystyle E\left(\lambda \right)}$ größer als 1 ist, wird der Eigenwert entartet genannt, anderenfalls heißt er nichtentartet.

Eigenschaften

• Existiert ein Eigenwert ${\displaystyle \lambda =0}$ von ${\displaystyle \varphi }$, so ist der zugehörige Eigenraum ${\displaystyle E\left(\lambda \right)}$ gleich dem Kern von ${\displaystyle \varphi }$. Denn ${\displaystyle \operatorname {Kern} \left(\varphi \right)=\left\{x\in V\mid \varphi \left(x\right)=0\right\}}$ und nach Definition des Eigenraumes: ${\displaystyle E\left(0\right)=\left\{x\in V\mid \varphi \left(x\right)=0x=0\right\}}$.

• Die Summe von Eigenräumen zu ${\displaystyle n}$ paarweise verschiedenen Eigenwerten ${\displaystyle \lambda _{1},\dotsc ,\lambda _{n}}$ von ${\displaystyle \varphi }$ ist direkt:

${\displaystyle E(\lambda _{1})+\dots +E(\lambda _{n})=E(\lambda _{1})\oplus \dots \oplus E(\lambda _{n})}$

• Gilt im obigen Fall ${\displaystyle E(\lambda _{1})+\dots +E(\lambda _{n})=V}$, so besitzt ${\displaystyle V}$ eine Basis aus Eigenvektoren von ${\displaystyle \varphi }$. In diesem Fall ist jede Darstellungsmatrix ${\displaystyle A}$ von ${\displaystyle \varphi \in \operatorname {End} \left(V\right)}$ bezüglich einer Basis von ${\displaystyle V}$ diagonalisierbar, das heißt die Darstellungsmatrix ${\displaystyle A'}$ von ${\displaystyle \varphi }$ bezüglich einer Basis von ${\displaystyle V}$ aus Eigenvektoren von ${\displaystyle \varphi }$ hat Diagonalgestalt. In der Hauptdiagonale von ${\displaystyle A'}$ stehen dann die Eigenwerte von ${\displaystyle \varphi }$:

${\displaystyle A'={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&\lambda _{n}\end{pmatrix}}}$

• Ist ${\displaystyle V}$ ein Prähilbertraum und ${\displaystyle \varphi \in \operatorname {End} (V)}$ selbstadjungiert, so sind die Eigenräume zu verschiedenen Eigenwerten paarweise zueinander orthogonal.

Literatur

• Gerd Fischer: Lineare Algebra. Eine Einführung für Studienanfänger. 17. aktualisierte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-0996-4, (Studium. Grundkurs Mathematik).