Dirac-Matrizen

Die Dirac-Matrizen (nach dem britischen Physiker Paul Dirac), auch Gamma-Matrizen genannt, sind vier Matrizen, die der Dirac-Algebra genügen. Sie treten in der Dirac-Gleichung auf.

Definition

Die Dirac-Matrizen ${\displaystyle \gamma ^{0},\,\gamma ^{1}\,,\gamma ^{2}\,}$ und ${\displaystyle \,\gamma ^{3}\,}$ erfüllen definitionsgemäß die Dirac-Algebra, das heißt, die algebraischen Bedingungen

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma ^{0}\gamma ^{0}&=I\,,&\gamma ^{1}\gamma ^{1}&=-I\,,&\gamma ^{2}\gamma ^{2}&=-I\,,&\gamma ^{3}\gamma ^{3}&=-I\,,\\\gamma ^{0}\gamma ^{1}&=-\gamma ^{1}\gamma ^{0}\,,&\gamma ^{0}\gamma ^{2}&=-\gamma ^{2}\gamma ^{0}\,,&\gamma ^{0}\gamma ^{3}&=-\gamma ^{3}\gamma ^{0}\,,&&\\\gamma ^{1}\gamma ^{2}&=-\gamma ^{2}\gamma ^{1}\,,&\gamma ^{1}\gamma ^{3}&=-\gamma ^{3}\gamma ^{1}\,,&\gamma ^{2}\gamma ^{3}&=-\gamma ^{3}\gamma ^{2}\,.&&\end{aligned}}}$

mit der Einheitsmatrix ${\displaystyle I}$. Diese Bedingungen betreffen Antikommutatoren, also die Summe der Produkte zweier Matrizen in beiden Reihenfolgen,

${\displaystyle \{A,B\}=A\,B+B\,A\,.}$

In Indexnotation, in der ${\displaystyle \mu }$ und ${\displaystyle \nu }$ für Zahlen aus ${\displaystyle \{0,1,2,3\}}$ stehen, schreiben sich die Bedingungen an die Dirac-Matrizen zusammenfassend als

${\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\,\eta ^{\mu \nu }I\,.}$

Dabei sind ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }}$ die Komponenten der Minkowski-Metrik mit Signatur (1,−1,−1,−1).

Die γ⁵-Matrix

Zusätzlich zu den vier Gamma-Matrizen definiert man noch die Matrix

${\displaystyle \gamma ^{5}=\mathrm {i} \,\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\ .}$

Sie ist ihr eigenes Inverses, ${\displaystyle \gamma ^{5}\gamma ^{5}=I\,,}$ ist hermitesch, antivertauscht mit den Gamma-Matrizen, ${\displaystyle \gamma ^{5}\gamma ^{\mu }=-\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}\,,}$ und demnach mit jedem Produkt von Gamma-Matrizen mit einer ungeraden Anzahl von Faktoren.

Eigenschaften

Die Gamma-Matrizen erzeugen eine Clifford-Algebra. Jede irreduzible Darstellung dieser Algebra durch Matrizen besteht aus ${\displaystyle 4\times 4}$-Matrizen. Die Elemente des Vektorraumes, auf den sie wirken, heißen Spinoren. Verschiedene Darstellungen der Dirac-Algebra sind einander äquivalent, das heißt, sie unterscheiden sich nur durch die gewählte Basis. Insbesondere sind die negativen transponierten Matrizen ${\displaystyle -\gamma ^{\mu \,{\text{T}}}}$ und die hermitesch adjungierten Matrizen ${\displaystyle \gamma ^{\mu \,\dagger }}$ den Matrizen ${\displaystyle \,\gamma ^{\mu }\,}$ äquivalent, denn sie erfüllen ebenfalls die Dirac-Algebra. Es gibt daher eine Matrix ${\displaystyle A}$ und eine Matrix ${\displaystyle C}$, so dass

${\displaystyle C\gamma ^{\mu }C^{-1}=-\gamma ^{\mu \,{\text{T}}}\ ,\quad A\gamma ^{\mu }A^{-1}=\gamma ^{\mu \,\dagger }\,.}$

Die Matrix ${\displaystyle A}$ ist zur Konstruktion von Skalaren, Vektoren und Tensoren aus Spinoren wichtig, die Matrix ${\displaystyle C}$ tritt bei der Ladungskonjugation auf.

Jedes Produkt mehrerer Dirac-Matrizen lässt sich bis auf ein Vorzeichen als Produkt verschiedener Dirac-Matrizen in lexographischer Ordnung schreiben, denn das Produkt zweier verschiedener Gamma-Matrizen kann auf Kosten eines Vorzeichens umgeordnet werden. Zudem ist das Quadrat jeder Gamma-Matrix 1 oder −1. Die Produkte verschiedener Gamma-Matrizen bilden zusammen mit der Eins-Matrix und den negativen Matrizen eine Gruppe mit den 32 Elementen,

${\displaystyle \pm 1\,,\,\pm \gamma ^{\mu }\,,\,\pm \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\,,\,\mu <\nu \,,\,\pm \gamma ^{\lambda }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\,,\,\lambda <\mu <\nu \,,\,\pm \gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\,,\,{\text{wobei}}\,\lambda ,\mu ,\nu \in \{0,1,2,3\}\,.}$

Da jede Darstellung einer endlichen Gruppe bei geeigneter Basiswahl unitär ist, ist auch jede Darstellung der Gamma-Matrizen bei geeigneter Wahl der Basis unitär. Zusammen mit der Dirac-Algebra heißt dies, dass ${\displaystyle \gamma ^{0}}$ hermitesch und die drei anderen ${\displaystyle \gamma }$-Matrizen antihermitesch sind,

${\displaystyle \gamma ^{0\,\dagger }=\gamma ^{0}\,,\,\gamma ^{1\,\dagger }=-\gamma ^{1}\,,\,\gamma ^{2\,\dagger }=-\gamma ^{2}\,,\,\gamma ^{3\,\dagger }=-\gamma ^{3}\,.}$

In unitären Darstellungen bewirkt ${\displaystyle A=\gamma ^{0}}$ die Äquivalenztransformation zu den adjungierten Matrizen

${\displaystyle \gamma ^{0}\gamma ^{\mu }\gamma ^{0}=\gamma ^{\mu \,\dagger }\,.}$

Mithilfe der Eigenschaften von ${\displaystyle \gamma ^{5}}$ kann gezeigt werden, dass die Spur jedes Produktes von Gamma-Matrizen mit einer ungeraden Anzahl von Faktoren verschwindet.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Spur}}\,{\bigl (}\gamma ^{\mu _{1}}\dots \gamma ^{\mu _{2n+1}}{\bigr )}&={\text{Spur}}\,{\bigl (}\gamma ^{\mu _{1}}\dots \gamma ^{\mu _{2n+1}}\gamma ^{5}\gamma ^{5}{\bigr )}=-{\text{Spur}}\,{\bigl (}\gamma ^{5}\gamma ^{\mu _{1}}\dots \gamma ^{\mu _{2n+1}}\gamma ^{5}{\bigr )}\\&=-{\text{Spur}}\,{\bigl (}\gamma ^{\mu _{1}}\dots \gamma ^{\mu _{2n+1}}\gamma ^{5}\gamma ^{5}{\bigr )}=-{\text{Spur}}\,{\bigl (}\gamma ^{\mu _{1}}\dots \gamma ^{\mu _{2n+1}}{\bigr )}\,.\end{aligned}}}$

Im vorletzten Schritt wurde dabei verwendet, dass die Spur eines Produktes sich bei zyklischer Vertauschung der Faktoren nicht ändert und demnach ${\displaystyle {\text{Spur}}\,(\gamma ^{5}\,B)={\text{Spur}}\,(B\,\gamma ^{5})}$ gilt.

Für die Spur eines Produktes von zwei Gamma-Matrizen gilt (weil die Spur zyklisch ist)

${\displaystyle {\text{Spur}}\,\gamma ^{\mu }\,\gamma ^{\nu }={\frac {1}{2}}{\text{Spur}}(\,\gamma ^{\mu }\,\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\,\gamma ^{\mu })={\frac {2\,\eta ^{\mu \nu }}{2}}{\text{Spur 1}}=4\,\eta ^{\mu \nu }\,.}$

Die Spur von vier Gamma-Matrizen reduziert man mit der Dirac-Algebra auf die Spur von zwei:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}2\,{\text{Spur}}\,\gamma ^{\kappa }\,\gamma ^{\lambda }\,\gamma ^{\mu }\,\gamma ^{\nu }&=&{\text{Spur}}(\,\gamma ^{\kappa }\,\gamma ^{\lambda }\,\gamma ^{\mu }\,\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\lambda }\,\gamma ^{\mu }\,\gamma ^{\nu }\,\gamma ^{\kappa })\\&=&{\text{Spur}}(\,\gamma ^{\kappa }\,\gamma ^{\lambda }\,\gamma ^{\mu }\,\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\lambda }\,\gamma ^{\kappa }\,\gamma ^{\mu }\,\gamma ^{\nu }\\&&\ \ \ \ -\gamma ^{\lambda }\,\gamma ^{\kappa }\,\gamma ^{\mu }\,\gamma ^{\nu }-\gamma ^{\lambda }\,\gamma ^{\mu }\,\gamma ^{\kappa }\,\gamma ^{\nu }\\&&\ \ \ \ +\gamma ^{\lambda }\,\gamma ^{\mu }\,\gamma ^{\kappa }\,\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\lambda }\,\gamma ^{\mu }\,\gamma ^{\nu }\,\gamma ^{\kappa })\\&=&2\,\eta ^{\kappa \lambda }{\text{Spur}}(\gamma ^{\mu }\,\gamma ^{\nu })-2\,\eta ^{\kappa \mu }{\text{Spur}}(\gamma ^{\lambda }\,\gamma ^{\nu })+2\,\eta ^{\kappa \nu }{\text{Spur}}(\gamma ^{\lambda }\,\gamma ^{\mu })\,.\end{array}}}$

Daher gilt:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\text{Spur}}\,\gamma ^{\kappa }\,\gamma ^{\lambda }\,\gamma ^{\mu }\,\gamma ^{\nu }&=&4\,(\eta ^{\kappa \lambda }\,\eta ^{\mu \nu }-\eta ^{\kappa \mu }\,\eta ^{\lambda \nu }+\eta ^{\kappa \nu }\,\eta ^{\lambda \mu })\,.\end{array}}}$

Falls also verschiedene Dirac-Matrizen in einem Produkt nicht paarweise auftauchen, verschwindet die Spur des Produktes. Daraus folgt unter anderem, dass die sechzehn Matrizen, die man als Produkt von Null bis vier verschiedenen Gamma-Matrizen erhält, linear unabhängig sind.

Dirac-Gleichung

Dirac führte die Gamma-Matrizen ein, um die Klein-Gordon-Gleichung, die eine Differentialgleichung zweiter Ordnung ist, in eine Gleichung erster Ordnung umzuwandeln.

In natürlichen Einheiten kann die Dirac-Gleichung wie folgt geschrieben werden

${\displaystyle (\mathrm {i} \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi =0}$

wobei ${\displaystyle \psi }$ ein Dirac-Spinor ist.

Multipliziert man beide Seiten mit ${\displaystyle -(\mathrm {i} \gamma ^{\nu }\partial _{\nu }+m)}$ erhält man

${\displaystyle (\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }+m^{2})\psi =(\partial ^{2}+m^{2})\psi =0,}$

also gerade die Klein-Gordon-Gleichung für ein Teilchen der Masse ${\displaystyle m}$.

Zusammenhang zu Lorentz-Transformationen

Die sechs Matrizen

${\displaystyle \Sigma ^{\mu \nu }={\frac {1}{4}}{\bigl (}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }{\bigr )}}$

bilden die Basis einer Lie-Algebra, die der Lie-Algebra der Lorentztransformationen isomorph ist. Sie erzeugen die zu Lorentztransformationen (die stetig mit der 1 zusammenhängen) gehörigen Transformationen der Spinoren ${\displaystyle \psi }$.

Chiralität

Aus ${\displaystyle (\gamma ^{5})^{2}=1}$ und ${\displaystyle {\text{Spur}}\,\gamma ^{5}=0}$ folgt, dass die Matrizen

${\displaystyle P_{L}={\frac {1-\gamma ^{5}}{2}}\,,\quad P_{R}={\frac {1+\gamma ^{5}}{2}}}$

Projektoren sind,

${\displaystyle (P_{L})^{2}=P_{L}\,,\,(P_{R})^{2}=P_{R}\,,}$

die auf zueinander komplementäre, zweidimensionale Unterräume projizieren,

${\displaystyle P_{L}\,P_{R}=0\,,\ {\text{Spur}}\,P_{L}={\text{Spur}}\,P_{R}=2\,,\quad P_{L}+P_{R}=1\,.}$

Diese Unterräume unterscheiden Teilchen verschiedener Chiralität.

Weil ${\displaystyle \gamma ^{5}}$ mit den Erzeugenden von Spinortransformationen vertauscht,

${\displaystyle \gamma ^{5}\Sigma ^{\mu \nu }=\Sigma ^{\mu \nu }\gamma ^{5}\,,}$

sind die Unterräume, auf die ${\displaystyle P_{L}}$ und ${\displaystyle P_{R}}$ projizieren, invariant unter den von ${\displaystyle \Sigma ^{\mu \nu }}$ erzeugten Lorentztransformationen, mit anderen Worten: Die links- und rechtshändigen Anteile, ${\displaystyle \psi _{L}=P_{L}\psi }$ und ${\displaystyle \psi _{R}=P_{R}\psi }$, eines Spinors ${\displaystyle \psi }$ transformieren getrennt voneinander.

Da ${\displaystyle P_{L}}$ und ${\displaystyle P_{R}}$ hermitesch sind, weil ${\displaystyle \gamma ^{5}}$ hermitesch ist, gilt für

${\displaystyle {\bar {\psi }}_{L}=(P_{L}\,\psi )^{\dagger }\gamma ^{0}=\psi ^{\dagger }P_{L}^{\dagger }\gamma ^{0}=\psi ^{\dagger }P_{L}\gamma ^{0}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}P_{R}={\bar {\psi }}\,P_{R}}$,

wobei ${\displaystyle {\bar {\psi }}}$ allgemein definiert wird als ${\displaystyle {\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$. Die Änderung ${\displaystyle P_{L}\rightarrow P_{R}}$ ergibt sich aus der Vertauschung von ${\displaystyle \gamma ^{5}}$ mit ${\displaystyle \gamma ^{0}}$. Da ${\displaystyle \gamma ^{5}}$ mit ${\displaystyle \gamma ^{0}}$ antikommutiert, ändert sich das Vorzeichen vor ${\displaystyle \gamma ^{5}}$ im Projektionsoperator ${\displaystyle P_{L}={\frac {1-\gamma ^{5}}{2}}\rightarrow P_{R}={\frac {1+\gamma ^{5}}{2}}}$. Ganz analog erhält man für ${\displaystyle {\bar {\psi }}_{R}={\bar {\psi }}\,P_{L}}$.

Parität

Wegen ${\displaystyle \gamma ^{0}\gamma ^{5}\gamma ^{0}=-\gamma ^{5}}$ ändert ein Term, der ${\displaystyle \gamma ^{5}}$ enthält, unter der Paritätstransformation sein Vorzeichen, es macht also aus Skalaren Pseudoskalare und aus Vektoren Pseudovektoren.

Allgemein folgen Größen, die man aus ${\displaystyle {\overline {\psi }}=\psi ^{\dagger }A=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$, Gamma-Matrizen und einem eventuell von ${\displaystyle \psi }$ verschiedenen Spinor ${\displaystyle \chi }$ zusammensetzt, einem Transformationsgesetz, das am Indexbild ablesbar ist. Es transformieren

• ${\displaystyle {\overline {\psi }}\chi }$ wie ein Skalar,
• ${\displaystyle {\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\chi }$ wie die Komponenten eines Vierervektors,
• ${\displaystyle {\overline {\psi }}\Sigma ^{\mu \nu }\chi }$ wie die Komponenten eines Bivektors bzw. antisymmetrischen Tensors,
• ${\displaystyle {\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}\chi }$ wie die Komponenten eines Vierer-Pseudovektors,
• ${\displaystyle {\overline {\psi }}\gamma ^{5}\chi }$ wie ein Pseudoskalar.

Feynman-Slash-Notation

Richard Feynman erfand die nach ihm benannte Slash-Notation (auch Feynman-Dolch oder Feynman-Dagger). In dieser Notation wird das Skalarprodukt eines Lorentzvektors mit dem Vektor der Gamma-Matrizen ${\displaystyle \textstyle \sum _{\mu =0}^{3}\,\gamma ^{\mu }A_{\mu }}$ abgekürzt geschrieben als

${\displaystyle A\!\!\!/\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{\mu =0}^{3}\gamma ^{\mu }A_{\mu }}$.

Dadurch kann z. B. die Dirac-Gleichung sehr übersichtlich geschrieben werden als

${\displaystyle {\Bigl (}\mathrm {i} \partial \!\!\!/\ -{\frac {mc}{\hbar }}{\Bigr )}\,\psi (x)=0\ ,}$

oder in natürlichen Einheiten

${\displaystyle {\Bigl (}\mathrm {i} \partial \!\!\!/\ -m{\Bigr )}\,\psi (x)=0\ .}$

Dirac-Darstellung

In einer geeigneten Basis haben die Gamma-Matrizen die auf Dirac zurückgehende Form (verschwindende Matrixelemente nicht ausgeschrieben)

${\displaystyle {\begin{array}{c c}\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}1&&&\\&1&&\\&&-1&\\&&&-1\end{pmatrix}}\,,&\gamma ^{1}={\begin{pmatrix}&&&1\\&&1&\\&-1&&\\-1&&&\end{pmatrix}}\,,\\\,&\,\\\gamma ^{2}={\begin{pmatrix}&&&-\mathrm {i} \\&&\mathrm {i} &\\&\mathrm {i} &&\\-\mathrm {i} &&&\end{pmatrix}}\,,&\gamma ^{3}={\begin{pmatrix}&&1&\\&&&-1\\-1&&&\\&1&&\end{pmatrix}}\,.\end{array}}}$

Diese Matrizen lassen sich kompakter mit Hilfe der Pauli-Matrizen schreiben (jeder Eintrag steht hier für eine ${\displaystyle 2\times 2}$-Matrix):

${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}1&\\&-1\end{pmatrix}}\,,\quad \gamma ^{i}={\begin{pmatrix}&\sigma ^{i}\\-\sigma ^{i}&\end{pmatrix}}\,,\;i\in \{1,2,3\}\,,\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}&1\\1&\end{pmatrix}}\,.}$

Die Diracmatrizen lassen sich mit Hilfe des Kronecker-Produktes auch folgendermaßen generieren:

${\displaystyle \gamma ^{0}=\sigma ^{3}\otimes 1,\quad \gamma ^{i}=\mathrm {i} \sigma ^{2}\otimes \sigma ^{i},\;i\in \{1,2,3\},\quad \gamma ^{5}=\sigma ^{1}\otimes 1\,.}$

Weyl-Darstellung

Die nach Hermann Weyl benannte Weyl-Darstellung heißt auch chirale Darstellung. In ihr ist ${\displaystyle \gamma ^{5}}$ diagonal,

${\displaystyle \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}-1&\\&1\end{pmatrix}}\,,\quad P_{L}={\frac {1-\gamma ^{5}}{2}}={\begin{pmatrix}1&\\&0\end{pmatrix}}\,,\quad P_{R}={\frac {1+\gamma ^{5}}{2}}={\begin{pmatrix}0&\\&1\end{pmatrix}}\,.}$

Im Vergleich zur Dirac-Darstellung werden ${\displaystyle \gamma ^{0}}$ und ${\displaystyle \gamma ^{5}}$ verändert, die räumlichen ${\displaystyle \gamma }$-Matrizen bleiben unverändert:

${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}&1\\1&\end{pmatrix}}\,,\quad \gamma ^{i}={\begin{pmatrix}&\sigma ^{i}\\-\sigma ^{i}&\end{pmatrix}}\,,\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}-1&\\&1\end{pmatrix}}.}$

Die Weyldarstellung ergibt sich durch einen unitären Basiswechsel aus der Dirac-Darstellung,

${\displaystyle \gamma _{\text{Weyl}}^{\mu }=U\,\gamma _{\text{Dirac}}^{\mu }U^{-1}{\text{ mit }}U={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}},\ U^{-1}=U^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}}\,.}$

Spinortransformationen transformieren in der Weyl-Basis die ersten beiden und die letzten beiden Komponenten des Dirac-Spinors getrennt.

Die chirale Darstellung ist von besonderer Bedeutung in der Weyl-Gleichung, der masselosen Dirac-Gleichung.

Majorana-Darstellung

In der Majorana-Darstellung sind alle Gamma-Matrizen imaginär. Dann ist die Dirac-Gleichung ein reelles Differentialgleichungssystem,

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma ^{0}&={\begin{pmatrix}&-\sigma ^{2}\\-\sigma ^{2}&\end{pmatrix}}\,,&\gamma ^{1}&={\begin{pmatrix}&\mathrm {i} \sigma ^{3}\\\mathrm {i} \sigma ^{3}&\end{pmatrix}}\,,&\\&\,&&\\\gamma ^{2}&={\begin{pmatrix}\mathrm {i} &\\&-\mathrm {i} \end{pmatrix}}\,,&\gamma ^{3}&={\begin{pmatrix}&-\mathrm {i} \sigma ^{1}\\-\mathrm {i} \sigma ^{1}&\end{pmatrix}}\,,&\gamma ^{5}&={\begin{pmatrix}&\mathrm {i} \\-\mathrm {i} &\end{pmatrix}}\,.\end{aligned}}}$

Literatur

• James Bjorken, Sidney Drell: Relativistische Quantenmechanik, BI-Wissenschaftsverlag, Mannheim, 1990, (BI-Hochschultaschenbuch Band 98), ISBN 3-411-00098-8
• Michael Peskin, Daniel V. Schroeder: An Introduction to Quantum Field Theory, Addison-Wesley Publishing Co., New York, 1995, ISBN 0-201-50397-2
• Josef-Maria Jauch, Fritz Rohrlich: The theory of photons and electrons, Addison-Wesley Publishing Co., New York, 1955
• Ferdinando Gliozzi, Joel Sherk, David Olive: Supersymmetry, Supergravity Theories and the Dual Spinor Model, Nucl. Phys. B122, 253–290, 1977. (Dirac-Algebra in höheren Dimensionen)
• Franz Schwabl: Quantenmechanik für Fortgeschrittene (QM II), Springer, Heidelberg, ISBN 978-3-540-85076-2