Chapman-Kolmogorow-Gleichung

Die Chapman-Kolmogorow-Gleichung ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine Gleichung für die Übergangswahrscheinlichkeiten bei Markow-Ketten oder allgemeiner bei Markow-Prozessen. Die differentielle Schreibweise der Chapman-Kolmogorow-Gleichung ist als Mastergleichung bekannt.

Markow-Ketten

Die Chapman-Kolmogorow-Gleichung für Markow-Ketten stellt die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen des Zustandes y {\displaystyle y} nach m + n {\displaystyle m+n} Schritten, beginnend im Zustand x {\displaystyle x} , als Summe möglicher Wege mit Zwischenstation z {\displaystyle z} dar. Formal bedeutet dies:[1]

Sei ( X k ) k ∈ N 0 {\displaystyle (X_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}} eine Markow-Kette mit Übergangsmatrix Π {\displaystyle \Pi } und Zustandsraum E {\displaystyle \mathrm {E} } .

Dann gilt für alle x , y ∈ E {\displaystyle x,y\in \mathrm {E} }

P ( X m + n = y ∣ X 0 = x ) = ∑ z ∈ E P ( X m + n = y ∣ X m = z ) P ( X m = z ∣ X 0 = x ) {\displaystyle P(X_{m+n}=y\mid X_{0}=x)=\sum _{z\in \mathrm {E} }P(X_{m+n}=y\mid X_{m}=z)P(X_{m}=z\mid X_{0}=x)} .

Der Beweis der Gleichung wird in der Regel wie folgt geführt:

Unter Anwendung der Definition der Matrizenmultiplikation auf die Übergangsmatrix Π = ( Π ( x , y ) ) x , y ∈ E {\displaystyle \Pi =(\Pi (x,y))_{x,y\in \mathrm {E} }} ergibt sich

P ( X m + n = y ∣ X 0 = x ) = ( ∗ ) Π n + m ( x , y ) = ∑ z ∈ E Π m ( x , z ) Π n ( z , y ) = ( ∗ ) ∑ z ∈ E P ( X m + n = y ∣ X m = z ) P ( X m = z ∣ X 0 = x ) , {\displaystyle {\begin{aligned}P(X_{m+n}=y\mid X_{0}=x)&{\overset {(*)}{=}}\Pi ^{n+m}(x,y)\\&{=}\sum _{z\in \mathrm {E} }\Pi ^{m}(x,z)\Pi ^{n}(z,y)\\&{\overset {(*)}{=}}\sum _{z\in \mathrm {E} }P(X_{m+n}=y\mid X_{m}=z)P(X_{m}=z\mid X_{0}=x)\,,\end{aligned}}}

wobei bei ( ∗ ) {\displaystyle (\ast )} ausgenutzt wurde, dass P ( X m + n = y ∣ X n = x ) = Π m ( x , y ) {\displaystyle P(X_{m+n}=y\mid X_{n}=x)=\Pi ^{m}(x,y)\,} für alle m , n ∈ N 0 , x , y ∈ E {\displaystyle m,n\in \mathbb {N} _{0},x,y\in \mathrm {E} \,} mit P ( X n = x ) > 0 {\displaystyle P(X_{n}=x)>0\,} gilt.

Markow-Prozesse

Für einen allgemeinen Markow-Prozess mit der Halbgruppe ( K ( t ) ) t ≥ 0 {\displaystyle (K(t))_{t\geq 0}} von Übergangskernen lässt sich die Chapman-Kolmogorow-Gleichung auch kurz schreiben als[2]

∀ s , t ∈ R ≥ 0 : K ( s + t ) = K ( s ) K ( t ) , {\displaystyle \forall \,s,t\in \mathbb {R} _{\geq 0}:\quad K(s+t)=K(s)K(t)\,,}

wobei K ( s ) K ( t ) {\displaystyle K(s)K(t)} die Komposition von Kernen bezeichnet. Induktiv lässt sich daraus herleiten, dass

∀ n ∈ N , t 1 , … , t n ∈ R ≥ 0 K ( ∑ i = 1 n t i ) = ∏ i = 1 n K ( t i ) . {\displaystyle \forall \,n\in \mathbb {N} ,t_{1},\ldots ,t_{n}\in \mathbb {R} _{\geq 0}\quad K\left(\sum _{i=1}^{n}t_{i}\right)=\prod _{i=1}^{n}K(t_{i})\,.}

Einzelnachweise

  1. ↑ Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8, S. 354.
  2. ↑ Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8, S. 291.