Catalansche Vermutung

Die catalansche Vermutung ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie. Sie geht von der Beobachtung aus, dass man außer den Potenzen ${\displaystyle 2^{3}=8}$ und ${\displaystyle 3^{2}=9}$ keine weiteren ganzzahligen Potenzen kennt, die sich um genau 1 unterscheiden. Eugène Charles Catalan stellte 1844 die nach ihm benannte catalansche Vermutung auf, wonach es keine weiteren echten Potenzen mit dieser Eigenschaft gibt:

Die einzige ganzzahlige Lösung der Gleichung ${\displaystyle x^{p}-y^{q}=1}$  mit ${\displaystyle x,p,y,q>1}$  lautet ${\displaystyle x=3}$, ${\displaystyle p=2}$, ${\displaystyle y=2}$ und ${\displaystyle q=3}$.

Erst nach über 150 Jahren wurde diese Vermutung 2002 von Preda Mihăilescu bewiesen.

Geschichte

Schon vor Catalan beschäftigte man sich mit verwandten Problemen. Um 1320 bewies Levi ben Gershon:

Wenn Potenzen von 2 und 3 sich um 1 unterscheiden, dann sind 8 und 9 die einzigen Lösungen.

Leonhard Euler (1707–1783) zeigte, dass es für ${\displaystyle a^{2}-b^{3}=1}$ nur die Lösung ${\displaystyle a=3}$ und ${\displaystyle b=2}$ gibt.

Catalans Vermutung verallgemeinert Eulers Gleichung auf allgemeine Potenzen. Seine Vermutung wurde 1844 im Journal für die reine und angewandte Mathematik als Leserbrief veröffentlicht.^[1]

Später fand man einige Teilergebnisse für den Fall, dass Catalans Behauptung nicht zutrifft, d. h., dass es weitere nichttriviale Lösungen der Gleichung gibt.

So bewies 1976 Robert Tijdeman den Satz von Tijdeman, demzufolge höchstens endlich viele ganzzahlige Lösungen der catalanschen Gleichung existieren können.

1998 zeigte Ray Steiner folgende Eigenschaft für eine mögliche Lösung: Entweder ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle q}$ erfüllen gewisse Teilbarkeitsbedingungen (class number condition) oder ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle q}$ sind doppelte Wieferich-Primzahlen, d. h., sie genügen der Bedingung

${\displaystyle p^{q-1}\equiv 1\ {\rm {mod}}\ q^{2}}$  und  ${\displaystyle q^{\;\!p-1}\equiv 1\ {\rm {mod}}\ p^{2}}$

Maurice Mignotte gab im Jahr 2000 eine obere Grenze für Lösungen ${\displaystyle q}$ und ${\displaystyle p}$ an: ${\displaystyle q<7{,}15\cdot 10^{11},\ p<7{,}78\cdot 10^{16}}$.

Im April 2002 gelang dem damals an der Universität Paderborn beschäftigten Preda Mihăilescu schließlich der Beweis der catalanschen Vermutung, womit diese den Status eines mathematischen Satzes erhielt.

Verallgemeinerung

Man kann die mittlerweile bewiesene catalansche Vermutung erweitern, indem man die Gleichung

${\displaystyle x^{p}-y^{q}=n}$  mit natürlichen ${\displaystyle x,y>0,\ p,q,n>1}$

betrachtet. Es wird vermutet, dass auch diese Gleichung für alle ${\displaystyle x,y>0,\ p,q,n>1}$ nur endlich viele Lösungen hat, dass es also für jede natürliche Zahl ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{+}}$ nur endlich viele Paare von ganzzahligen Potenzen gibt, deren Differenz ${\displaystyle n}$ ist.

Die folgende Liste gibt bis ${\displaystyle n\leq 67}$ alle Lösungen dieser Gleichung an, wobei ${\displaystyle x^{p},y^{q}<2^{64}\approx 1{,}84\cdot 10^{19}}$ ist. Der größte dabei auftretende Wert für ${\displaystyle y^{q}}$ ist ${\displaystyle \ 542\,939\,080\,312\;(\approx 5{,}43\cdot 10^{11})}$ in ${\displaystyle 736844^{2}-8158^{3}=24}$, im Bereich von ${\displaystyle 5{,}43\cdot 10^{11}}$ bis ${\displaystyle 2^{64}\!-\!1\approx 1{,}84\cdot 10^{19}}$ sind für ${\displaystyle n\leq 206}$ keine weiteren Lösungen zu finden.

Liste aller Lösungen der Gleichung ${\displaystyle x^{p}-y^{q}=n}$ für ${\displaystyle 1\leq n\leq 67}$ und ${\displaystyle n=100}$, mit ${\displaystyle x^{p},y^{q}\leq 2^{64}}$, ${\displaystyle p\geq 2}$, ${\displaystyle q\geq 2}$ oder ${\displaystyle q=0}$

n Anzahl der Lösungen (Folge A076427 in OEIS) Zahlen ${\displaystyle k}$, sodass ${\displaystyle k+n}$ und ${\displaystyle k}$ beides Potenzen sind (Folge A103953 in OEIS) ${\displaystyle x^{p}-y^{q}=n}$ 1 1 8 ${\displaystyle 3^{2}-2^{3}=1}$ 2 1 25 ${\displaystyle 3^{3}-5^{2}=2}$ 3 2 1, 125 ${\displaystyle 2^{2}-1^{q}=3}$ ${\displaystyle 2^{7}-5^{3}=3}$ 4 3 4, 32, 121 ${\displaystyle 2^{3}-2^{2}=4}$ ${\displaystyle 6^{2}-2^{5}=4}$ ${\displaystyle 5^{3}-11^{2}=4}$ 5 2 4, 27 ${\displaystyle 3^{2}-2^{2}=5}$ ${\displaystyle 2^{5}-3^{3}=5}$ 6 0 es existiert keine Lösung 7 5 1, 9, 25, 121, 32761 ${\displaystyle 2^{3}-1^{q}=7}$ ${\displaystyle 4^{2}-3^{2}=7}$ ${\displaystyle 2^{5}-5^{2}=7}$ ${\displaystyle 2^{7}-11^{2}=7}$ ${\displaystyle 32^{3}-181^{2}=7}$ 8 3 1, 8, 97336 ${\displaystyle 3^{2}-1^{q}=8}$ ${\displaystyle 2^{4}-2^{3}=8}$ ${\displaystyle 312^{2}-46^{3}=8}$ 9 4 16, 27, 216, 64000 ${\displaystyle 5^{2}-2^{4}=9}$ ${\displaystyle 6^{2}-3^{3}=9}$ ${\displaystyle 15^{2}-6^{3}=9}$ ${\displaystyle 253^{2}-40^{3}=9}$ 10 1 2187 ${\displaystyle 13^{3}-3^{7}=10}$ 11 4 16, 25, 3125, 3364 ${\displaystyle 3^{3}-2^{4}=11}$ ${\displaystyle 6^{2}-5^{2}=11}$ ${\displaystyle 56^{2}-5^{5}=11}$ ${\displaystyle 15^{3}-58^{2}=11}$ 12 2 4, 2197 ${\displaystyle 2^{4}-2^{2}=12}$ ${\displaystyle 47^{2}-13^{3}=12}$ 13 3 36, 243, 4900 ${\displaystyle 7^{2}-6^{2}=13}$ ${\displaystyle 2^{8}-3^{5}=13}$ ${\displaystyle 17^{3}-70^{2}=13}$ 14 0 es existiert keine Lösung 15 3 1, 49, 1295029 ${\displaystyle 2^{4}-1^{q}=15}$ ${\displaystyle 2^{6}-7^{2}=15}$ ${\displaystyle 1138^{2}-109^{3}=15}$ 16 3 9, 16, 128 ${\displaystyle 5^{2}-3^{2}=16}$ ${\displaystyle 2^{5}-2^{4}=16}$ ${\displaystyle 12^{2}-2^{7}=16}$ 17 7 8, 32, 64, 512, 79507, 140608, 143384152904 ${\displaystyle 5^{2}-2^{3}=17}$ ${\displaystyle 7^{2}-2^{5}=17}$ ${\displaystyle 3^{4}-2^{6}=17}$ ${\displaystyle 23^{2}-2^{9}=17}$ ${\displaystyle 282^{2}-43^{3}=17}$ ${\displaystyle 375^{2}-52^{3}=17}$ ${\displaystyle 378661^{2}-5234^{3}=17}$ 18 3 9, 225, 343 ${\displaystyle 3^{3}-3^{2}=18}$ ${\displaystyle 3^{5}-15^{2}=18}$ ${\displaystyle 19^{2}-7^{3}=18}$ 19 5 8, 81, 125, 324, 503284356 ${\displaystyle 3^{3}-2^{3}=19}$ ${\displaystyle 10^{2}-3^{4}=19}$ ${\displaystyle 12^{2}-5^{3}=19}$ ${\displaystyle 7^{3}-18^{2}=19}$ ${\displaystyle 55^{5}-22434^{2}=19}$ 20 2 16, 196 ${\displaystyle 6^{2}-2^{4}=20}$ ${\displaystyle 6^{3}-14^{2}=20}$ 21 2 4, 100 ${\displaystyle 5^{2}-2^{2}=21}$ ${\displaystyle 11^{2}-10^{2}=21}$ 22 2 27, 2187 ${\displaystyle 7^{2}-3^{3}=22}$ ${\displaystyle 47^{2}-3^{7}=22}$ 23 4 4, 9, 121, 2025 ${\displaystyle 3^{3}-2^{2}=23}$ ${\displaystyle 2^{5}-3^{2}=23}$ ${\displaystyle 12^{2}-11^{2}=23}$ ${\displaystyle 2^{11}-45^{2}=23}$ 24 5 1, 8, 25, 1000, 542939080312 ${\displaystyle 5^{2}-1^{q}=24}$ ${\displaystyle 2^{5}-2^{3}=24}$ ${\displaystyle 7^{2}-5^{2}=24}$ ${\displaystyle 2^{10}-10^{3}=24}$ ${\displaystyle 736844^{2}-8158^{3}=24}$ 25 2 100, 144 ${\displaystyle 5^{3}-10^{2}=25}$ ${\displaystyle 13^{2}-12^{2}=25}$ 26 3 1, 42849, 6436343 ${\displaystyle 3^{3}-1^{q}=26}$ ${\displaystyle 35^{3}-207^{2}=26}$ ${\displaystyle 2537^{2}-23^{5}=26}$ 27 3 9, 169, 216 ${\displaystyle 6^{2}-3^{2}=27}$ ${\displaystyle 14^{2}-13^{2}=27}$ ${\displaystyle 3^{5}-6^{3}=27}$ 28 7 4, 8, 36, 100, 484, 50625, 131044 ${\displaystyle 2^{5}-2^{2}=28}$ ${\displaystyle 6^{2}-2^{3}=28}$ ${\displaystyle 2^{6}-6^{2}=28}$ ${\displaystyle 2^{7}-10^{2}=28}$ ${\displaystyle 2^{9}-22^{2}=28}$ ${\displaystyle 37^{3}-225^{2}=28}$ ${\displaystyle 2^{17}-362^{2}=28}$ 29 1 196 ${\displaystyle 15^{2}-14^{2}=29}$ 30 1 6859 ${\displaystyle 83^{2}-19^{3}=30}$ 31 2 1, 225 ${\displaystyle 2^{5}-1^{q}=31}$ ${\displaystyle 16^{2}-15^{2}=31}$ 32 4 4, 32, 49, 7744 ${\displaystyle 6^{2}-2^{2}=32}$ ${\displaystyle 2^{6}-2^{5}=32}$ ${\displaystyle 3^{4}-7^{2}=32}$ ${\displaystyle 6^{5}-88^{2}=32}$

n Anzahl der Lösungen (Folge A076427 in OEIS) Zahlen ${\displaystyle k}$, sodass ${\displaystyle k+n}$ und ${\displaystyle k}$ beides Potenzen sind (Folge A103953 in OEIS) ${\displaystyle x^{p}-y^{q}=n}$ 33 2 16, 256 ${\displaystyle 7^{2}-2^{4}=33}$ ${\displaystyle 17^{2}-2^{8}=33}$ 34 0 es existiert keine Lösung 35 3 1, 289, 1296 ${\displaystyle 6^{2}-1^{q}=35}$ ${\displaystyle 18^{2}-17^{2}=35}$ ${\displaystyle 11^{3}-36^{2}=35}$ 36 2 64, 1728 ${\displaystyle 10^{2}-2^{6}=36}$ ${\displaystyle 42^{2}-12^{3}=36}$ 37 3 27, 324, 14348907 ${\displaystyle 2^{6}-3^{3}=37}$ ${\displaystyle 19^{2}-18^{2}=37}$ ${\displaystyle 3788^{2}-243^{3}=37}$ 38 1 1331 ${\displaystyle 37^{2}-11^{3}=38}$ 39 4 25, 361, 961, 10609 ${\displaystyle 2^{6}-5^{2}=39}$ ${\displaystyle 20^{2}-19^{2}=39}$ ${\displaystyle 10^{3}-31^{2}=39}$ ${\displaystyle 22^{3}-103^{2}=39}$ 40 4 9, 81, 216, 2704 ${\displaystyle 7^{2}-3^{2}=40}$ ${\displaystyle 11^{2}-3^{4}=40}$ ${\displaystyle 2^{8}-6^{3}=40}$ ${\displaystyle 14^{3}-52^{2}=40}$ 41 3 8, 128, 400 ${\displaystyle 7^{2}-2^{3}=41}$ ${\displaystyle 13^{2}-2^{7}=41}$ ${\displaystyle 21^{2}-20^{2}=41}$ 42 0 es existiert keine Lösung 43 1 441 ${\displaystyle 22^{2}-21^{2}=43}$ 44 3 81, 100, 125 ${\displaystyle 5^{3}-3^{4}=44}$ ${\displaystyle 12^{2}-10^{2}=44}$ ${\displaystyle 13^{2}-5^{3}=44}$ 45 4 4, 36, 484, 9216 ${\displaystyle 7^{2}-2^{2}=45}$ ${\displaystyle 9^{2}-6^{2}=45}$ ${\displaystyle 23^{2}-22^{2}=45}$ ${\displaystyle 21^{3}-96^{2}=45}$ 46 1 243 ${\displaystyle 17^{2}-3^{5}=46}$ 47 6 81, 169, 196, 529, 1681, 250000 ${\displaystyle 2^{7}-3^{4}=47}$ ${\displaystyle 6^{3}-13^{2}=47}$ ${\displaystyle 3^{5}-14^{2}=47}$ ${\displaystyle 24^{2}-23^{2}=47}$ ${\displaystyle 12^{3}-41^{2}=47}$ ${\displaystyle 63^{3}-500^{2}=47}$ 48 4 1, 16, 121, 21904 ${\displaystyle 7^{2}-2^{0}=48}$ ${\displaystyle 2^{6}-2^{4}=48}$ ${\displaystyle 13^{2}-11^{2}=48}$ ${\displaystyle 28^{3}-148^{2}=48}$ 49 3 32, 576, 274576 ${\displaystyle 3^{4}-2^{5}=49}$ ${\displaystyle 25^{2}-24^{2}=49}$ ${\displaystyle 65^{3}-524^{2}=49}$ 50 0 es existiert keine Lösung 51 2 49, 625 ${\displaystyle 10^{2}-7^{2}=51}$ ${\displaystyle 26^{2}-5^{4}=51}$ 52 1 144 ${\displaystyle 14^{2}-12^{2}=52}$ 53 2 676, 24336 ${\displaystyle 27^{2}-26^{2}=53}$ ${\displaystyle 29^{3}-156^{2}=53}$ 54 2 27, 289 ${\displaystyle 3^{4}-3^{3}=54}$ ${\displaystyle 7^{3}-17^{2}=54}$ 55 3 9, 729, 175561 ${\displaystyle 2^{6}-3^{2}=55}$ ${\displaystyle 28^{2}-27^{2}=55}$ ${\displaystyle 56^{3}-419^{2}=55}$ 56 4 8, 25, 169, 5776 ${\displaystyle 2^{6}-2^{3}=56}$ ${\displaystyle 3^{4}-5^{2}=56}$ ${\displaystyle 15^{2}-13^{2}=56}$ ${\displaystyle 18^{3}-76^{2}=56}$ 57 3 64, 343, 784 ${\displaystyle 11^{2}-2^{6}=57}$ ${\displaystyle 20^{2}-7^{3}=57}$ ${\displaystyle 29^{2}-28^{2}=57}$ 58 0 es existiert keine Lösung 59 1 841 ${\displaystyle 30^{2}-29^{2}=59}$ 60 4 4, 196, 2515396, 2535525316 ${\displaystyle 2^{6}-2^{2}=60}$ ${\displaystyle 2^{8}-14^{2}=60}$ ${\displaystyle 136^{3}-1586^{2}=60}$ ${\displaystyle 76^{5}-50354^{2}=60}$ 61 2 64, 900 ${\displaystyle 5^{3}-2^{6}=61}$ ${\displaystyle 31^{2}-30^{2}=61}$ 62 0 es existiert keine Lösung 63 4 1, 81, 961, 183250369 ${\displaystyle 2^{6}-1^{q}=63}$ ${\displaystyle 12^{2}-9^{2}=63}$ ${\displaystyle 2^{10}-31^{2}=63}$ ${\displaystyle 568^{3}-13537^{2}=63}$ 64 4 36, 64, 225, 512 ${\displaystyle 10^{2}-6^{2}=64}$ ${\displaystyle 2^{7}-2^{6}=64}$ ${\displaystyle 17^{2}-15^{2}=64}$ ${\displaystyle 24^{2}-2^{9}=64}$ 65 4 16, 1024, 2744, 199176704 ${\displaystyle 3^{4}-2^{4}=65}$ ${\displaystyle 33^{2}-2^{10}=65}$ ${\displaystyle 53^{2}-14^{3}=65}$ ${\displaystyle 14113^{2}-584^{3}=65}$ 66 0 es existiert keine Lösung 67 2 1089, 12100 ${\displaystyle 34^{2}-33^{2}=67}$ ${\displaystyle 23^{3}-110^{2}=67}$ ... 100 10 25, 125, 243, 576, 900, 3025, 8000, 13824, 39204, 18821096000 ${\displaystyle 5^{3}-5^{2}=100}$ ${\displaystyle 15^{2}-5^{3}=100}$ ${\displaystyle 7^{3}-3^{5}=100}$ ${\displaystyle 26^{2}-24^{2}=100}$ ${\displaystyle 10^{3}-30^{2}=100}$ ${\displaystyle 5^{5}-55^{2}=100}$ ${\displaystyle 90^{2}-20^{3}=100}$ ${\displaystyle 118^{2}-24^{3}=100}$ ${\displaystyle 34^{3}-198^{2}=100}$ ${\displaystyle 137190^{2}-2660^{3}=100}$

Siehe auch

• Pillai-Vermutung

Literatur

• Preda Mihailescu: Primary cyclotomic units and a proof of Catalan's conjecture. J. Reine Angew. Math. 572 (2004), 167–195
• Christoph Pöppe: Der Beweis der Catalan'schen Vermutung. In: Omega. Das Magazin für Mathematik, Logik und Computer. (Spektrum der Wissenschaft Spezial 4/2003) Spektrumverlag, Heidelberg 2003, S. 64–67
• Yuri Bilu: Catalan´s Conjecture (after Mihailescu). Seminaire Bourbaki, Nr. 909, 2002, (PDF).
• Jeanine Daems: A Cyclotomic Proof of Catalan´s Conjecture. Diplomarbeit, Universität Leiden 2003, (PDF).
• Maurice Mischler, Jacques Boéchat zur Catalan Vermutung, französisch (Arxiv).
• Henri Cohen zum Beweis der Catalan Vermutung, französisch (Online).

Weblinks

• Eric Weisstein: Catalan's Conjecture. In: MathWorld (englisch).
• https://www.welt.de/print-wams/article604626/Geniestreich-eines-spaet-Berufenen.html

Einzelnachweise

1. ↑ Eugène Charles Catalan: Note extraite d'une lettre adressée à l'éditeur par Mr. E. Catalan, Répétiteur à l'école polytechnique de Paris. Journal für die reine und angewandte Mathematik 27, 192. 1844 (Scan des Originals online) (abgerufen am 16. April 2019)