Vlnky Daubechies

Daubechiesové vlnky (vlnky Daubechies) jsou rodinou ortogonálních vlnek pojmenovaných podle jejich objevitelky, belgické fyzičky a matematičky Ingrid Daubechies. Používají se při diskrétní vlnkové transformaci, nemají explicitní vyjádření a jejich konstrukce je složitá.

Rodina Daubechiesové vlnek je zajímavá tím, že vlnky mají známý počet nulových momentů. Jsou konstruovány tak, že na dané délce nosiče ${\displaystyle N-1}$ mají právě maximální počet nulových momentů ${\displaystyle p}$. Důsledkem toho je tato vlnka ortogonální na polynomy až do stupně ${\displaystyle p-1}$ (vlnková transformace bude v odpovídajících místech nulová). Tato vlastnost činí vlnky vhodnými k použití v aplikacích potlačení resp. získání polynomiální části signálu. Další aplikací je použití vlnky jako derivátoru (parciálního diferenciálního operátoru) daného řádu ${\displaystyle p}$ pro detekci nespojitostí v signálu a jeho derivacích.

Vlnka řádu ${\displaystyle 1}$ (s jedním nulovým momentem) se také nazývá Haarova vlnka.

Vlastnosti

• asymetrické (až na ${\displaystyle p=1}$)
• ortogonální, biortogonální
• délka filtrů (počet koeficientů) ${\displaystyle N=2p}$
• kompaktní nosič délky ${\displaystyle N-1=2p-1}$
• vlnky ${\displaystyle \psi }$ mají ${\displaystyle p}$ nulových momentů

Výpočet koeficientů

Koeficienty škálovací funkce (dolní propusti ${\displaystyle H_{0}}$ při použití ortogonální banky filtrů) musejí splňovat následující podmínky.

Normalizace:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}h_{0}[n]={\sqrt {2}}}$ nebo ${\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}h_{0}[n]=2}$ (pak je třeba výsledné koeficienty podělit hodnotou ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$)

z čehož plyne

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}(h_{0}[n])^{2}=1}$ nebo ${\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}(h_{0}[n])^{2}=2}$ (pak je třeba výsledné koeficienty podělit hodnotou ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$)

Ortogonalita:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}h_{0}[n]h_{0}[n-2k]=0}$ pro ${\displaystyle k\not =0}$

Nulovost momentů (uhlazenost, podmínka dolní propusti, regulárnosti):^[1]

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}(-1)^{n}h_{0}[n]n^{m}=0}$ pro ${\displaystyle 0\leq m<N/2}$

Existuje více řešení (je ovšem třeba odlišit dolní propust od horní).

Vlnky se označují jako Dx, kde x je buď počet koeficientů (${\displaystyle N}$) nebo počet nulových momentů (${\displaystyle p}$), tedy např. D8 může být vlnka s 8 koeficienty (a čtyřmi nulovými momenty).

Příklad

Výpočet vlnky se 4 koeficienty (označované jako D4) v MATLABu (místo ${\displaystyle h_{0}}$ je použito pouze značení ${\displaystyle h}$):

t = solve(
	'h0*h0 + h1*h1 + h2*h2 + h3*h3 = 1', % normalizace
	'h2*h0 + h3*h1 = 0', % ortogonalita
	'+(0^0)*h0 -(1^0)*h1 +(2^0)*h2 -(3^0)*h3 = 0', % nulovost nultého
	'+(0^1)*h0 -(1^1)*h1 +(2^1)*h2 -(3^1)*h3 = 0' % a prvního momentu (podmínky uhlazenosti)
);
r=length(t.h0); % počet řešení
s=[1:r]; eval( [t.h0(s) t.h1(s) t.h2(s) t.h3(s)] ) % zobrazit řešení

Řešení (pouze dolní propusti):

Související články

• vlnková transformace
• kvadraturně zrcadlový filtr
• Haarova vlnka – Daubechiesové vlnka s jedním nulovým momentem
• coiflety
• symlety – rodina více symetrických vlnek se stejnými vlastnosti jako mají Daubechiesové vlnky

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Vlnky Daubechies na Wikimedia Commons

Reference

Literatura

• DAUBECHIES, Ingrid. Ten Lectures on Wavelets. Philadelphia, Pennsylvania: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992. xix, 357 s. (CBMS-NSF regional conference series in applied mathematics; sv. 61). Dostupné online. ISBN 0898712742. (anglicky)