Věta o inverzní funkci

Věta o inverzní funkci v diferenciálním počtu v matematice je postačující podmínka, aby k funkci existovalo inverzní zobrazení v okolí nějakého bodu svého definičního oboru: musí existovat derivace této funkce, která je spojitá a v daném bodě nenulová. Věta také udává vzorec pro derivaci inverzní funkce. V diferenciálním a integrálním počtu funkcí mnoha proměnných lze tuto větu zobecnit na jakoukoli spojitě diferencovatelnou vektorovou funkci, jejíž Jacobián je nenulový v nějakém bodě jejího definičního oboru, což dává vzorec pro Jacobiho matici inverzní funkce. Existují také verze věty o inverzní funkci pro holomorfní funkce v oboru komplexních čísel, pro derivovatelná zobrazení mezi varietami, pro derivovatelná funkce mezi Banachovými prostory atd.

Tvrzení věty

Pro funkce jedné proměnné věta tvrdí, že pokud ${\displaystyle f}$ je spojitě derivovatelná funkce s nenulovou derivací v bodě a, pak ${\displaystyle f}$ je v okolí bodu a invertovatelná, inverzní funkce je spojitě derivovatelná, a derivace inverzní funkce v bodě ${\displaystyle b=f(a)}$ se rovná převrácené hodnotě derivace funkce ${\displaystyle f}$ v bodě ${\displaystyle a}$^[1]:

${\displaystyle {\bigl (}f^{-1}{\bigr )}'(b)={\frac {1}{f'(a)}}={\frac {1}{f'(f^{-1}(b))}}.}$

Alternativní verze, která předpokládá, že ${\displaystyle f}$ je spojitá a prostá (injektivní) v okolí bodu a, diferencovatelná v bodě a s nenulovou hodnotou derivace, také vede k výsledku, že ${\displaystyle f}$ má inverzní funkci v okolí bodu a, která je spojitá a injektivní, a pro kterou platí výše uvedený vzorec.^[2]

Jasně vidíme, že důsledkem je, že pokud funkce ${\displaystyle f}$ má v bodě a ${\displaystyle k}$ nenulových derivací, pak má ${\displaystyle f}$ inverzní funkci v okolí bodu a, která má také ${\displaystyle k}$ derivací. ${\displaystyle k}$ může být kladné celé číslo nebo ${\displaystyle \infty }$.

Pro funkce více než jedné proměnné věta tvrdí, že pokud F je spojitě derivovatelná funkce z otevřené podmnožiny ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\!}$ do ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\!}$ a totální derivace je invertovatelná v bodě p (tj. Jacobián funkce F v p je nenulový), pak F je invertovatelná v okolí p: inverzní funkce na F je definovaná na nějakém okolí bodu ${\displaystyle q=F(p)\!}$. Pokud píšeme ${\displaystyle F=(F_{1},\ldots ,F_{n})\!}$, to znamená, že systém n rovnic ${\displaystyle y_{i}=F_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})\!}$ má jednoznačné řešení pro ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\!}$ kvůli/pomocí ${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{n}\!}$, za předpokladu, že, omezíme x a y na dostatečně malé okolí p a q, po řadě. V nekonečněrozměrném případě věta vyžaduje zvláštní hypotézu, podle které Fréchetova derivace funkce F v bodě p má omezenou inverzi.

Věta navíc říká, že inverzní funkce ${\displaystyle F^{-1}\!}$ je spojitě derivovatelná a derivace jejího Jacobiánu v ${\displaystyle q=F(p)\!}$ je inverzní matice k Jacobiánu funkce F v bodě p:

${\displaystyle J_{F^{-1}}(q)=[J_{F}(p)]^{-1}.}$

Obtížnou částí věty je důkaz existence a derivovatelnosti inverzní funkce ${\displaystyle F^{-1}\!}$. Z toho již vzorec pro derivaci inverzní funkce vyplývá z řetízkového pravidla použitého na ${\displaystyle F^{-1}\circ F={\text{id}}}$:

${\displaystyle I=J_{F^{-1}\circ F}(p)\ =\ J_{F^{-1}}(F(p))\cdot J_{F}(p)\ =\ J_{F^{-1}}(q)\cdot J_{F}(p).}$

Příklad

Uvažujme vektorovou funkci ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}\!}$ definovanou vztahem:

${\displaystyle F(x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}\cos y}\\{e^{x}\sin y}\\\end{bmatrix}}.}$

Její Jacobiho matice je:

${\displaystyle J_{F}(x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}\cos y}&{-e^{x}\sin y}\\{e^{x}\sin y}&{e^{x}\cos y}\\\end{bmatrix}}}$

a Jacobián:

${\displaystyle \det J_{F}(x,y)=e^{2x}\cos ^{2}y+e^{2x}\sin ^{2}y=e^{2x}.\,\!}$

Determinant ${\displaystyle e^{2x}\!}$ je všude nenulový. Věta tedy zaručuje, že pro každý bod p z ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\!}$, existuje nějaké jeho okolí, na kterém je F invertovatelná. To neznamená, že F je invertovatelná na celém svém definičním oboru: v tomto případě není F ani injektivní, protože je periodická: ${\displaystyle F(x,y)=F(x,y+2\pi )\!}$.

Protipříklad

Vynecháme-li předpoklad, že derivace musí být spojitá, pak funkce nemusí být invertovatelná. Například ${\displaystyle f(x)=x+2x^{2}\sin({\tfrac {1}{x}})}$ a ${\displaystyle f(0)=0}$ nemá spojitou derivaci ${\displaystyle f'\!(x)=1-2\cos({\tfrac {1}{x}})+4x\sin({\tfrac {1}{x}})}$ a ${\displaystyle f'\!(0)=1}$, která neexistuje libovolně blízko bodu ${\displaystyle x=0}$. Tyto kritické body jsou lokální extrémy funkce ${\displaystyle f}$, takže ${\displaystyle f}$ není vzájemně jednoznačná (a není invertovatelná) na žádném intervalu, který obsahuje ${\displaystyle x=0}$. Intuitivně se směrnice ${\displaystyle f'\!(0)=1}$ nerozšířuje na blízké body, ve kterých mají směrnice mírné, ale velmi rychlé oscilace.

Metody důkazu

Díky důležitosti věty o inverzní funkci existuje mnoho jejích důkazů. V učebnicích je obvykle uveden důkaz, který používá princip kontrakce známý také jako Banachova věta o pevném bodě (který lze také použít jako klíčový krok v důkazu existence a jednoznačnosti řešení obyčejné diferenciální rovnice).^[3][4]

Protože věta o pevném bodě je platí i v nekonečněrozměrném (Banachově) prostoru, její důkaz lze okamžitě zobecnit na nekonečněrozměrnou verzi věty o inverzní funkci^[5] (viz část Zobecnění níže).

Alternativní důkaz pro konečněrozměrný prostor je založen na Weierstrassově větě pro funkce na kompaktní množině.^[6]

Důkaz, který používá Newtonovu metodu, má tu výhodu, že poskytuje efektivní verzi věty: meze derivace funkce dávají odhad velikosti okolí, na kterém je funkce invertovatelná.^[7]

Zobecnění

Variety

Větu o inverzní funkci lze přeformulovat pro derivovatelná zobrazení mezi derivovatelnými varietami. V tomto případě věta tvrdí, že pro derivovatelné zobrazení ${\displaystyle F:M\to N}$ (třídy ${\displaystyle C^{1}}$), pokud diferenciál funkce ${\displaystyle F}$

${\displaystyle dF_{p}:T_{p}M\to T_{F(p)}N}$

je lineární izomorfismus v nějakém bodě ${\displaystyle p}$ množiny ${\displaystyle M}$, pak existuje otevřené okolí ${\displaystyle U}$ bodu ${\displaystyle p}$ tak, že

${\displaystyle F|_{U}:U\to F(U)}$

je difeomorfismus. Z toho plyne, že M a N musí mít v bodě p stejný rozměr. Pokud derivace funkce F je izomorfismem pro všechny body p v M, pak zobrazení F je lokální difeomorfismus.

Banachovy prostory

Věta o inverzní funkci může také být zobecněný na derivovatelná zobrazení mezi Banachovými prostory X a Y.^[8] Nechť U jsou otevřené okolí počátku v X a ${\displaystyle F:U\to Y\!}$ a spojitě derivovatelná funkce a předpokládáme, že Fréchetova derivace ${\displaystyle dF_{0}:X\to Y\!}$ funkce F v bodě 0 je omezený lineární izomorfismus z X na Y. Pak existuje otevřené okolí V bodu ${\displaystyle F(0)\!}$ v Y a spojitě derivovatelné zobrazení ${\displaystyle G:V\to X\!}$ tak, že ${\displaystyle F(G(y))=y}$ pro všechna y ve V. Navíc ${\displaystyle G(y)\!}$ je jediné dostatečně malé řešení x rovnice ${\displaystyle F(x)=y\!}$.

Banachovy variety

Uvedené dva směry zobecnění lze zkombinovat do věty o inverzní funkci pro Banachovy variety.^[9]

Věta o konstantním ranku

Větu o inverzní funkci (a větu o implicitní funkci) lze chápat jako speciální případ věty o konstantním ranku, která říká, že hladké zobrazení s konstantním rankem v okolí bodu lze vyjádřit v určité normální formě v okolí tohoto bodu.^[10] Konkrétně pokud ${\displaystyle F:M\to N}$ má konstantní rank v okolí nějakého bodu ${\displaystyle p\in M\!}$, pak existuje otevřené okolí U bodu p a otevřené okolí V bodu ${\displaystyle F(p)\!}$ a existují diffeomorfismy ${\displaystyle u:T_{p}M\to U\!}$ a ${\displaystyle v:T_{F(p)}N\to V\!}$ takové, že ${\displaystyle F(U)\subseteq V\!}$ tak, že derivace ${\displaystyle dF_{p}:T_{p}M\to T_{F(p)}N\!}$ se rovná ${\displaystyle v^{-1}\circ F\circ u\!}$. To znamená, že funkce F „vypadá jako“ její derivace v okolí bodu p. Z polospojitosti rankové funkce plyne, že existuje otevřená hustá podmnožina definičního oboru funkce F, na které má derivace konstantním rank. Věta o konstantním ranku tedy platí v libovolném bodě definičního oboru.

Je-li derivace F injektivní (příp. surjektivní) v bodě p, pak je také injektivní (příp. surjektivní) v jeho okolí, a proto rank funkce F je na tomto okolí konstantní, a proto věta o konstantním ranku platí.

Holomorfní funkce

Pokud je holomorfní funkce F definovaná na otevřené podmnožině U prostoru ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\!}$, kterou zobrazuje do ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\!}$ a komplexní derivace Jacobiho matice je invertovatelná v nějakém bodě p, pak F je invertovatelná funkce v okolí p. To okamžitě vyplývá z verze pro více reálných proměnných. Je možné také ukázat, že inverzní funkce je opět holomorfní.^[11]

Odkazy

Poznámky

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Inverse function theorem na anglické Wikipedii.

Související články

• Banachova věta o pevném bodě

Literatura

• ALLENDOERFER, Carl B. Calculus of Several Variables and Differentiable Manifolds. New York: Macmillan, 1974. Dostupné online. ISBN 0-02-301840-2. Kapitola Theorems about Differentiable Functions, s. 54–88. 
• BAXANDALL, Peter; LIEBECK, Hans. Vector Calculus. New York: Oxford University Press, 1986. Dostupné online. ISBN 0-19-859652-9. Kapitola The Inverse Function Theorem, s. 214–225. 
• NIJENHUIS, Albert. Strong derivatives and inverse mappings. Amer. Math. Monthly. 1974, roč. 81, čís. 9, s. 969–980. Dostupné online. DOI 10.2307/2319298. 
• PROTTER, Murray H.; MORREY, Charles B., Jr. Intermediate Calculus. 2. vyd. New York: Springer, 1985. Dostupné online. ISBN 0-387-96058-9. Kapitola Transformations and Jacobians, s. 412–420. 
• RENARDY, Michael; ROGERS, Robert C. An Introduction to Partial Differential Equations. 2. vyd. New York: Springer-Verlag, 2004. (Texts in Applied Mathematics 13). Dostupné online. ISBN 0-387-00444-0. S. 337–338. 
• RUDIN, Walter. Principles of mathematical analysis. 3. vyd. New York: McGraw-Hill Book, 1976. (International Series in Pure a Applied Mathematics). Dostupné online. S. 221–223. 
• JARNÍK, Vojtěch, 1984. Diferenciální počet (I). 7. vyd. Praha: Academia. 392 s.