Unitární operátor

Unitární operátor je v matematice označení pro omezený lineární operátor U : H → K {\displaystyle U:{\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {K}}} splňující vztah: U ∗ = U − 1 {\displaystyle U^{*}=U^{-1}} , tzn. adjungovaný operátor odpovídá inverznímu zobrazení. (Kde H {\displaystyle {\mathcal {H}}} a K {\displaystyle {\mathcal {K}}} jsou Hilbertovy prostory.)

Vlastnosti

Alternativní definice

Následující tvrzení jsou ekvivalentní. Vlastnosti 2. a 3. se někdy používají jako alternativní definice.

  1. U {\displaystyle U} je unitární, ve smyslu definovaném výše, tedy U ∗ = U − 1 {\displaystyle U^{*}=U^{-1}}
  2. U {\displaystyle U} je surjektivní a je izometrií, tzn.: ‖ U x ‖ = ‖ x ‖   ∀ x ∈ H {\displaystyle \|Ux\|=\|x\|\ \forall x\in {\mathcal {H}}}
  3. U {\displaystyle U} je surjektivní a zachovává skalární součin, tzn.: ⟨ x , y ⟩ = ⟨ U x , U y ⟩   ∀ x , y ∈ H {\displaystyle \langle x,y\rangle =\langle Ux,Uy\rangle \ \forall x,y\in {\mathcal {H}}}

Důkaz:

( 1. ) ⇒ ( 3. ) ⇒ ( 2. ) {\displaystyle (1.)\Rightarrow (3.)\Rightarrow (2.)}
U ∗ = U − 1 ⇒ ⟨ x , x ⟩ = ⟨ U − 1 U x , x ⟩ = ⟨ U ∗ U x , x ⟩ = ⟨ U x , U x ⟩ ⇒ ‖ x ‖ = ‖ U x ‖ {\displaystyle U^{*}=U^{-1}\Rightarrow \langle x,x\rangle =\langle U^{-1}Ux,x\rangle =\langle U^{*}Ux,x\rangle =\langle Ux,Ux\rangle \Rightarrow \|x\|=\|Ux\|}
Protože platí U ∗ ∗ = ( U − 1 ) ∗ = ( U ∗ ) − 1 {\displaystyle U^{**}=(U^{-1})^{*}=(U^{*})^{-1}} , je U ∗ {\displaystyle U^{*}} též unitární. Proto je unitární zobrazení vždy bijektivní a tedy i surjektivní.
( 2. ) ⇒ ( 1. ) {\displaystyle (2.)\Rightarrow (1.)}
Označme I {\displaystyle I} identické zobrazení a připomeňme, že: ‖ x ‖ 2 = ⟨ x , x ⟩ {\displaystyle \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle } .
⟨ I x , x ⟩ = ⟨ x , x ⟩ = ⟨ T x , T x ⟩ = ⟨ T ∗ T x , x ⟩   ∀ x ∈ H ⇒ I = T ∗ T {\displaystyle \langle Ix,x\rangle =\langle x,x\rangle =\langle Tx,Tx\rangle =\langle T^{*}Tx,x\rangle \ \forall x\in {\mathcal {H}}\Rightarrow I=T^{*}T}
Z čehož máme: T T ∗ = T T ∗ T T − 1 = T I T − 1 = T T − 1 = I ⇒ T ∗ = T − 1 {\displaystyle TT^{*}=TT^{*}TT^{-1}=TIT^{-1}=TT^{-1}=I\Rightarrow T^{*}=T^{-1}} . ∎

Další vlastnosti

Unitární zobrazování je někdy považováno za zobecnění komplexní jednotky pro Hilbertovy prostory, mimo výše uvedené izometrie má je ještě tyto podobné vlastnosti:

  • Složené zobrazení dvou unitárních zobrazení je unitární zobrazení.
  • Vlastní čísla unitárního operátoru jsou komplexní jednotky.
  • Unitární operátor komutuje se svým sdruženým operátorem, je takzvaně normální. Z toho podle věty o spektrálním rozkladu plyne, že jeho vlastní vektory jsou ortogonální. Lze z nich tedy sestrojit ortonormální bázi K {\displaystyle {\mathcal {K}}} .
  • Pro Hilbertovy prostory konečné dimenze lze unitární zobrazení reprezentovat maticí n × n {\displaystyle n\times n} , jejíž sloupcové vektory tvoří ortonormální bázi C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} . Platí i opačná implikace: Matice s touto vlastností reprezentuje unitární zobrazení. Stejná vlastnost platí i pro řádkové vektory.

Příklady

  • Identické zobrazení je triviální případ unitárního operátoru.
  • Rotace v R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} .
  • V množině komplexních čísel násobení komplexní jednotkou.
  • Fourierova transformace v prostoru L2(ℝ).
  • exp ⁡ ( i H ) {\displaystyle \exp {(iH)}} , kde H {\displaystyle H} je hermitovský operátor a exp ⁡ {\displaystyle \exp {}} značí exponenciálu operátoru.

Související články

  • Antiunitární operátor
  • Wignerova věta