Rovnostranný trojúhelník

Rovnostranný trojúhelník je trojúhelník, který má všechny tři strany shodné.

Vlastnosti

Kromě vlastností společných pro každý trojúhelník má rovnostranný trojúhelník navíc tyto vlastnosti:

• Rovnostranný trojúhelník je osově souměrný se 3 osami souměrnosti, které procházejí vždy vrcholem a středem protější strany.
• Všechny vnitřní úhly jsou shodné a jejich velikost je 60°.
• Všechny výšky a těžnice jsou shodné.
• Těžnice a výška příslušné téže straně jsou totožné.
• Střed kružnice vepsané, střed kružnice opsané, průsečík těžnic (těžiště) a průsečík výšek (ortocentrum) splývají.
• Výšku lze vypočítat jako ${\displaystyle v=a\cdot \sin {60^{\circ }}={\frac {a\cdot {\sqrt {3}}}{2}}}$
• Poloměr kružnice vepsané je roven třetině výšky, tj. ${\displaystyle r={\frac {a\cdot {\sqrt {3}}}{6}}}$.
• Poloměr kružnice opsané je dvakrát větší, tj. ${\displaystyle R={\frac {a\cdot {\sqrt {3}}}{3}}={\frac {a}{\sqrt {3}}}}$
• Vzdálenost těžiště od libovolné strany je taktéž ${\displaystyle {\frac {a\cdot {\sqrt {3}}}{6}}}$, vzdálenost těžiště od jakéhokoli vrcholu je ${\displaystyle {\frac {a\cdot {\sqrt {3}}}{3}}}$.

Obvod

Obvod rovnostranného trojúhelníku o se vypočte podle vzorce:

${\displaystyle o=3\cdot a}$, kde a je délka strany rovnostranného trojúhelníku.

Obsah

Vzhledem k tomu, že všechny výšky jsou shodné a jejich velikost je ${\displaystyle v=a\cdot \sin {60^{\circ }}={\frac {a\cdot {\sqrt {3}}}{2}}}$, potom pro obsah S platí:

${\displaystyle S={\frac {a\cdot v}{2}}={\frac {a}{2}}\cdot {\frac {a\cdot {\sqrt {3}}}{2}}={\frac {a^{2}\cdot {\sqrt {3}}}{4}}={\sqrt {{\frac {3}{16}}\cdot a^{4}}}={\sqrt {0,1875\cdot a^{4}}}}$

Související články

• Rovinné geometrické útvary
• Mnohoúhelník
• Trojúhelník
• Rovnoramenný trojúhelník

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu rovnostranný trojúhelník na Wikimedia Commons