Podílové pravidlo v diferenciálním počtu je vzorec používaný pro derivaci podílu dvou funkcí. Může být zapsáno takto:[1][2][3]
Jestliže derivujeme funkci
, která je podílem dvou funkcí:
![{\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08a3015775a256d35a32493d1322366b2e08458c)
a
, pak derivace
je
![{\displaystyle f'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d45c7e05d3e8269911e3c725d6dc9e5e90021c7b)
Důkaz
Důkaz pomocí implicitní derivace:
- Z
plyne ![{\displaystyle g(x)=f(x)h(x){\mbox{ }}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/787b6719030ae551b48269be39233b87ccfb6d09)
- Podle součinového pravidla
![{\displaystyle g'(x)=f'(x)h(x)+f(x)h'(x){\mbox{ }}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16884ccc9b9f8a31e29de9bea3758d0ab441398a)
- odtud dostaneme
![{\displaystyle f'(x)={\frac {g'(x)-f(x)h'(x)}{h(x)}}={\frac {g'(x)\cdot {\frac {h(x)}{h(x)}}-{\frac {g(x)}{h(x)}}\cdot h'(x)}{h(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c79fbfa8ff82e43fe675e24323249e8e6c67796b)
- tedy
![{\displaystyle f'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{\left(h(x)\right)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a287a8ece3b3d094ff02189b476e1fe7d799c367)
Důkaz pomocí řetízkového pravidla:
- Vztah
přepíšeme použitím záporného mocnitele:
![{\displaystyle f(x)=g(x)\cdot h(x)^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e51a95cd33db2f1eb9d3040aea67532767381ae2)
- Obě strany zderivujeme a na pravou stranu použijeme součinové pravidlo:
![{\displaystyle f'(x)=g'(x)\cdot h(x)^{-1}+g(x)\cdot (h(x)^{-1})'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69eea29bf4b9479b3ac93f37376a804a925712cd)
- Pro výpočet derivace druhého členu použijeme řetízkové pravidlo, přičemž vnější funkce je
a vnitřní
.
![{\displaystyle f'(x)=g'(x)\cdot h(x)^{-1}+g(x)\cdot (-1)h(x)^{-2}h'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17a1dc0fed746de32c6efa6b03a9044c65a7967f)
- Převedeme na společného dělitele:
![{\displaystyle f'(x)={\frac {g'(x)}{h(x)}}-{\frac {g(x)\cdot h'(x)}{[h(x)]^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ddfd9b748bf2947f0b95e79a9b497d044db6288)
![{\displaystyle f'(x)={\frac {g'(x)\cdot h(x)-h'(x)\cdot g(x)}{[h(x)]^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78fd78eaa3f52485dbd600c5765a6e7601a8d98e)
Vzorce pro derivace vyšších řádů
Pro výpočet derivací vyšších řádů je mnohem snazší použít řetízkové pravidlo než implicitní derivaci. Výsledkem dvou implicitních derivací funkce
je
a řešením pro
je
![{\displaystyle f''={\frac {g''-2f'h'-fh''}{h}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22414f9b55607f039a4eeed1c771cedd783a8b92)
Odkazy
Reference
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Quotient rule na anglické Wikipedii.
- ↑ STEWART, James. Calculus: Early Transcendentals. 6. vyd. [s.l.]: Brooks/Cole, 2008. Dostupné online. ISBN 0-495-01166-5.
- ↑ LARSON, Ron; EDWARDS, Bruce H. Calculus. 9. vyd. [s.l.]: Brooks/Cole, 2009. ISBN 0-547-16702-4.
- ↑ THOMAS, George B.; WEIR, Maurice D.; HASS, Joel. Thomas' Calculus: Early Transcendentals. 12. vyd. [s.l.]: Addison-Wesley, 2010. Dostupné online. ISBN 0-321-58876-2.
Portály: Matematika