Loxodroma

Loxodroma je křivka na referenční ploše (např. na sférickém povrchu Země), která protíná všechny poledníky pod stejným úhlem.

V úhlojevných mapách Země v Mercatorově zobrazení mají loxodromy charakter přímek. Mapu světa, sestrojenou v tomto zobrazení, uveřejnil v roce 1569 Gerhard Mercator (1512–1594)^[1]. Název „loxodroma“ pochází od nizozemského učence Willebrorda Snellia (1581–1626).

Přestože loxodroma není nejkratší spojnicí dvou míst na referenční ploše, byly loxodromické cesty v minulosti využívány při námořní plavbě. Pro svou jednoduchost jsou loxodromické cesty používány i dnes v námořní a v letecké navigaci. Loxodromická cesta se shoduje s ortodromickou pouze ve směru po polednících a ve směru po rovníku. V tom případě je loxodroma nejkratší spojnicí dvou míst na referenční ploše. Do vzdálenosti 800–1000 km je rozdíl mezi loxodromou a ortodromou zanedbatelný^[2].

V dnešní době díky rozvoji moderní navigační techniky (GPS apod.) význam loxodromy klesá.

Matematický popis

Budeme uvažovat dva body na sféře poloměru ${\displaystyle R}$, jejichž poloha je udána ve sférických souřadnicích. Našim cílem bude najít azimut loxodromy (ten je dle definice pro celou křivku stejný) a délku této křivky. Sférické souřadnice označme ${\displaystyle \vartheta }$ a ${\displaystyle \varphi }$, přičemž první z nich je zeměpisná šířka, druhá délka. Rovníku tedy odpovídá ${\displaystyle \vartheta =0}$.

Odvození azimutu

Je zřejmé, že délka malého elementu ve směru jih-sever je ${\displaystyle R\,{\mathrm {d} }\vartheta }$, zatím co ve směru západ-východ ${\displaystyle R\cos \vartheta \,{\mathrm {d} }\varphi }$. Azimut (úhel vůči severu) ${\displaystyle \alpha }$ je pak tedy dán takto:

${\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha ={\frac {R\cos \vartheta \,{\mathrm {d} }\varphi }{R\,{\mathrm {d} }\vartheta }}}$

Tento vztah upravíme na tvar vhodný k integraci

${\displaystyle {\mathrm {d} }\varphi ={\frac {\operatorname {tg} \,\alpha }{\cos \vartheta }}\,{\mathrm {d} }\vartheta }$.

Přitom dle definice loxodromy je ${\displaystyle \alpha }$ konstantní. Integrováním od ${\displaystyle \vartheta _{1}}$ do ${\displaystyle \vartheta _{2}}$ získáme změnu ${\displaystyle \varphi }$ mezi těmito body. Přitom předpokládáme, že ${\displaystyle \vartheta _{1}\neq \vartheta _{2}}$.

${\displaystyle \varphi _{2}-\varphi _{1}=\operatorname {tg} \,\alpha (\operatorname {arctgh} \,\sin \vartheta _{2}-\operatorname {arctgh} \,\sin \vartheta _{1})}$

Byl tedy získán vztah pro azimut loxodromy:

${\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha ={\frac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{\operatorname {arctgh} \,\sin \vartheta _{2}-\operatorname {arctgh} \,\sin \vartheta _{1}}}}$

Poznamenejme, že transformační vztahy pro Mercatorovo zobrazení jsou:

${\displaystyle x=R\,\varphi }$

${\displaystyle y=R\,\operatorname {arctgh} \,\sin \vartheta }$

Spojíme-li na mapě dva body pravítkem, pak zřejmě jejich spojnice má na mapě azimut

${\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha ={\frac {x_{2}-x_{1}}{y_{2}-y_{1}}}}$,

což je přesně stejná hodnota, jaká byla odvozena předchozím výpočtem. Loxodromy jsou tedy opravdu na mapách s touto projekcí přímky. Můžeme uvažovat i obráceně a předchozí výpočet považovat za odvození Mercatorovy projekce, tedy projekce, kde jsou loxodromy přímky.

Délka loxodromy

Nyní ještě určíme její délku. Vyjdeme přitom z Pythagorovy věty, kterou určíme délku výsledného elementu dráhy, když došlo k pohybu jak ve směru jih-sever, tak západ-východ.

${\displaystyle {\mathrm {d} }s=R{\sqrt {{\mathrm {d} }\vartheta ^{2}+\cos ^{2}\vartheta {\mathrm {d} }\varphi ^{2}}}}$

Dosadíme-li za ${\displaystyle \cos \vartheta \,{\mathrm {d} }\varphi }$ z předem odvozeného vztahu pro azimut, dostaneme:

${\displaystyle {\mathrm {d} }s=R{\sqrt {{\mathrm {d} }\vartheta ^{2}+\tan ^{2}\alpha \,{\mathrm {d} }\vartheta ^{2}}}=R{\frac {|{\mathrm {d} }\vartheta |}{|\cos \alpha |}}}$

Integrace je tedy triviální. Délka loxodromy je

${\displaystyle s=R{\frac {|\vartheta _{2}-\vartheta _{1}|}{|\cos \alpha |}}}$,

kde za azimut ${\displaystyle \alpha }$ dosadíme z předem odvozeného vztahu

Odkazy

Reference

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu loxodroma na Wikimedia Commons
• Loxodroma na gis.zcu.cz