Komplexní analýza

Komplexní analýza je obor matematické analýzy, který zkoumá funkce komplexních čísel. Je užitečná v mnoha odvětvích matematiky, včetně oborů jako algebraická geometrie, teorie čísel, aplikovaná matematika; ale i ve fyzice, např. v oborech jako hydrodynamika, termodynamika, mechanické inženýrství a elektrotechnika.

Komplexní analýza se nejvíc zabývá analytickými funkcemi komplexních proměnných (nebo obecněji meromorfními funkcemi). Protože reálná i imaginární část každé analytické funkce musí splňovat Laplaceovu rovnici, komplexní analýza je široce aplikovatelná na dvoudimenzionální problémy ve fyzice.

Murray R. Spiegel napsal, že komplexní analýza je „jedním z nejhezčích a nejužitečnějších oborů matematiky“.

Historie

Komplexní analýza má kořeny v 19. století i dříve. Zabývali se jí známí matematici jako Euler, Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass a mnoho dalších v 20. století. Komplexní analýza, zejména teorie konformních zobrazení, má mnoho fyzikálních aplikací a používá se i v analytické teorii čísel. V současnosti se stala velmi populární díky novým podnětům z komplexní dynamiky a díky obrázkům fraktálů produkovaných iterací holomorfních funkcí. Další důležitá aplikace komplexní analýzy je v teorii strun, která studuje konformní invarianty v kvantové teorii pole.

Komplexní funkce

Komplexní funkce je funkce, kde nezávislá proměnná i závislá proměnná jsou obě komplexní čísla. Přesněji, komplexní funkce je funkce, u které definiční obor i obor hodnot jsou podmnožiny komplexní roviny.

Pro každou komplexní funkci lze nezávisle proměnnou i závisle proměnnou separovat na reálnou a imaginární část:

z=x+iy\

tj.

w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)

kde $x,y\in \mathbb {R}$ a $i={\sqrt {-1}}$ je imaginární jednotka.

Složky funkce $f(z)$ :

u=u(x,y)\

\ v=v(x,y)

lze interpretovat jako reálné funkce dvou reálných proměnných $x$ a $y$ .

Základní koncepty komplexní analýzy se často představují rozšířením elementárních funkcí reálné proměnné (např. exponenciální funkce, logaritmická funkce a trigonometrická funkce) do komplexní domény.

Komplexní exponenciála

Komplexní exponenciálu komplexní proměnné můžeme zavést pomocí komplexní funkce $z$ reálné proměnné $y$ :

z=\cos y+i\sin y\ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ {\frac {\text{dz}}{\text{dy}}}=-\sin y+i\cos y=i\left(\cos y+i\sin y\right)=iz\ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \

\ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ {\frac {\text{dz}}{z}}=i{\text{dy}}\ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \int _{}^{}{{\frac {1}{z}}{\text{dz}}}=i\int _{}^{}{\text{dy}}\ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \ln z=iy\ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ z=e^{iy}

následujícím způsobem:

e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}=e^{x}\left(\cos y+i\sin y\right)=e^{x}\cos y+ie^{x}\sin y=u\left(x,y\right)+iv\left(x,y\right)

pro jejíž derivaci platí:

\left|{\begin{matrix}{\frac {\partial u}{\partial x}}&{\frac {\partial u}{\partial y}}\\{\frac {\partial v}{\partial x}}&{\frac {\partial v}{\partial y}}\\\end{matrix}}\right|=\left|{\begin{matrix}e^{x}\cos y&-e^{x}\sin y\\e^{x}\sin y&e^{x}\cos y\\\end{matrix}}\right|=\left(e^{x}\cos y\right)^{2}+\left(e^{x}\sin y\right)^{2}=\left|e^{x+{\text{iy}}}\right|^{2}

Holomorfní funkce

Holomorfní funkce jsou komplexní funkce definované na otevřené podmnožině komplexní roviny, které jsou diferencovatelné. Komplexní diferencovatelnost má mnohem větší důsledky než obvyklá (reálná) diferencovatelnost.