Haarova míra

Haarova míra v matematické analýze je zobecněním Lebesgueovy míry na kompaktní grupy. Na lokálně kompaktní topologické grupě je invariantní mírou jejích podmnožin, a to umožňuje definovat integrál pro funkce na těchto grupách.

Tuto míru zavedl Alfréd Haar v roce 1933,[1] její speciální případ pro Lieovy grupy však definoval již Adolf Hurwitz v roce 1897 pod názvem invariantní integrál.[2] Haarova míra se používá v mnoha oblastech analýzy, teorie čísel, teorie grup, teorie reprezentací, statistiky, teorie pravděpodobnosti a ergodické teorie.

Levá Haarova míra lokálně kompaktní grupy G {\displaystyle G} je regulární borelovská míra μ {\displaystyle \mu } , která je invariantní vůči levé translaci a pozitivní na neprázdných otevřených podmnožinách G {\displaystyle G} . Invariance vůči levé translaci znamená, že pro každou borelovskou podmnožinu A {\displaystyle A} a každý prvek grupy g {\displaystyle g} platí μ ( g A ) = μ ( A ) {\displaystyle \mu (gA)=\mu (A)} , neboli zapsáno pomocí integrálu

∫ G f ( g x ) d μ = ∫ G f ( x ) d μ {\displaystyle \int _{G}f(gx)\,\mathrm {d} \mu =\int _{G}f(x)\,\mathrm {d} \mu }

pro všechny integrovatelné funkce f {\displaystyle f} a všechny prvky grupy g {\displaystyle g} .

Analogicky lze definovat pravou Haarovu míru invariantní vůči pravé translaci, tj. μ ( A g ) = μ ( A ) {\displaystyle \mu (Ag)=\mu (A)} . Levá i pravá Haarova míra existují v každé lokálně kompaktní topologické grupě a jsou jednoznačné až na multiplikativní faktor. Pokud se sobě rovnají, což nastává například v případě abelovských grup, nazýváme G {\displaystyle G} unimodulární grupou.

Poznámky

  1. ↑ HAAR, A. Der Massbegriff in der Theorie der kontinuierlichen Gruppen. Annals of Mathematics. 1933, s. 147–169. DOI 10.2307/1968346. JSTOR 1968346. Je zde použita šablona {{Citation}} označená jako k „pouze dočasnému použití“.
  2. ↑ I. M. James, Historii, Topologii, p.186

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Haar measure na anglické Wikipedii.

Další literatura

  • Diestel, Joe; Spalsbury, Angela (2014), The joys of Haar measure, Graduate Studies in Mathematics, 150, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-1-4704-0935-7, MR 3186070
  •  Loomis, Lynn (1953), An Introduction to Abstract Harmonic Analysis, D. van Nostrand and Co..
  •  Hewitt, Edwin; Ross, Kenneth A. (1963), Abstract harmonic analysis. Vol. I: Structure of topological groups. Integration theory, group representations., Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 115, Berlin-Göttingen-Heidelberg: Springer-Verlag, MR 0156915
  •  Nachbin, Leopoldo (1965), The Haar Integral, Princeton, NJ: D. Van Nostrand
  •  André Weil, Basic Number Theory, Academic Press, 1971.