Druhá odmocnina

Druhá odmocnina je speciálním typem obecné odmocniny. Jde o nejběžnější typ odmocniny, proto se často označuje pouze jako odmocnina. Pro libovolný matematický objekt s definovanou operací umocňování (číslo, matici, funkci...) je druhá odmocnina z ${\displaystyle a}$, označovaná jako ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$, definována jako objekt ${\displaystyle b}$, pro který platí ${\displaystyle b^{2}=a}$.

Druhá odmocnina má rovněž geometrický význam. Druhá odmocnina z čísla ${\displaystyle S}$ (značí se jako${\displaystyle {\sqrt {S}}}$) je délka strany čtverce o obsahu ${\displaystyle S}$. Objev druhé odmocniny vedl ve starověku k objevu iracionálních čísel.

Definice

Obor reálných čísel

Druhá odmocnina je definována pouze pro nezáporná reálná čísla ${\displaystyle a\in \mathbb {R} _{0}^{+}}$ jako nezáporné reálné číslo ${\displaystyle b}$, pro které platí, že ${\displaystyle b\cdot b=a}$. Druhou odmocninu značíme jako ${\displaystyle b={\sqrt {a}}}$.

Jedná se o inverzní funkci k druhé mocnině v nezáporných číslech; druhá mocnina není mimo nezáporná čísla prostou funkcí, proto ji nelze invertovat na celém jejím definičním oboru. Přestože tak například vedle ${\displaystyle 2\cdot 2=4}$ platí také ${\displaystyle (-2)\cdot (-2)=4}$, druhá odmocnina je podle definice vždy nezáporné číslo, proto ${\displaystyle {\sqrt {4}}=2}$. Takto ovšem nelze omezit množinu kořenů rovnice obsahující druhou mocninu – rovnice ${\displaystyle x^{2}=a}$ má pro ${\displaystyle a>0}$ dva kořeny ${\displaystyle x=\pm {\sqrt {a}}}$, např. vztahu ${\displaystyle x^{2}-4=0}$ tak vyhovují ${\displaystyle x_{1}=2}$ i ${\displaystyle x_{2}=-2}$.

Obor komplexních čísel

Druhá odmocnina komplexního čísla ${\displaystyle a+bi}$ je rovna

${\displaystyle {\sqrt {a+bi}}=\pm \left[{\sqrt {\frac {a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}}+i(\operatorname {sgn} {b}){\sqrt {\frac {-a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}}\right]}$.

V komplexních číslech je definována odmocnina i pro záporná reálná čísla ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{-}}$ – zjednodušením obecného vzorce lze získat ${\displaystyle {\sqrt {x}}=\pm i\textstyle {\sqrt {|x|}}}$. Takto lze získat komplexní řešení kvadratické rovnice se záporným diskriminantem. Pro obecné reálné číslo ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ lze vzorec zjednodušit na ${\displaystyle {\sqrt {x}}=\pm {\sqrt {\frac {x+|x|}{2}}}\pm i{\sqrt {\frac {|x|-x}{2}}}}$ a pro ryze imaginární číslo ${\displaystyle bi}$, ${\displaystyle b\in \mathbb {R} }$ na ${\displaystyle {\sqrt {bi}}=\pm \textstyle {\sqrt {{\frac {1}{2}}|b|}}\pm i(\operatorname {sgn} {b})\textstyle {\sqrt {{\frac {1}{2}}|b|}}}$.

Odvození vzorce pro komplexní čísla

Vyjádříme ${\displaystyle {\sqrt {a+bi}}}$ pomocí dvou nezáporných čísel ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} _{0}^{+}}$ jako ${\displaystyle x+iy\operatorname {sgn} {b}}$. Definiční vztah ${\displaystyle (x+iy\operatorname {sgn} {b})^{2}=a+bi}$ roznásobíme na ${\displaystyle x^{2}-y^{2}+2ixy\operatorname {sgn} {b}=a+bi}$, rovnici rozdělíme na reálnou a imaginární část:

${\displaystyle x^{2}-y^{2}=a}$

${\displaystyle xy=\textstyle {\frac {1}{2}}|b|}$

a řešíme vzniklou soustavu dvou rovnic v reálných číslech.

Vztahy mezi druhými odmocninami nezáporných čísel

Pokud a, b jsou nezáporná čísla, pak platí:

${\displaystyle {\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}={\sqrt {a+b+2{\sqrt {ab}}}}}$

${\displaystyle {\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}={\sqrt {a+b-2{\sqrt {ab}}}}\qquad (a\geq b)}$

${\displaystyle {\sqrt {a\pm {\sqrt {b}}}}={\sqrt {\frac {a+{\sqrt {(a^{2}-b)}}}{2}}}\pm {\sqrt {\frac {a-{\sqrt {(a^{2}-b)}}}{2}}}\qquad (a^{2}\geq b)}$

Vztah mezi druhou odmocninou a přirozeným logaritmem

${\displaystyle {\sqrt {a}}=e^{ln{\sqrt {a}}}=e^{{\frac {1}{2}}\ln a}}$, kde ln ${\displaystyle a}$ je přirozený logaritmus čísla ${\displaystyle a}$

Hodnoty pro přirozená čísla

Hodnotou druhé odmocniny z čísel 1, 4, 9, 16... je přirozené číslo. Ve všech ostatních případech je hodnotou číslo iracionální.

${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {1}}}$	${\displaystyle \scriptstyle =\,}$	1	${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {6}}}$	${\displaystyle \scriptstyle \approx }$	2,449	${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {11}}}$	${\displaystyle \scriptstyle \approx }$	3,317	${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {16}}}$	${\displaystyle \scriptstyle =\,}$	4
${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle \scriptstyle \approx }$	1,414	${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {7}}}$	${\displaystyle \scriptstyle \approx }$	2,646	${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {12}}}$	${\displaystyle \scriptstyle \approx }$	3,464	${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {17}}}$	${\displaystyle \scriptstyle \approx }$	4,123
${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle \scriptstyle \approx }$	1,732	${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {8}}}$	${\displaystyle \scriptstyle \approx }$	2,828	${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {13}}}$	${\displaystyle \scriptstyle \approx }$	3,606	${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {18}}}$	${\displaystyle \scriptstyle \approx }$	4,243
${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {4}}}$	${\displaystyle \scriptstyle =\,}$	2	${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {9}}}$	${\displaystyle \scriptstyle =\,}$	3	${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {14}}}$	${\displaystyle \scriptstyle \approx }$	3,742	${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {19}}}$	${\displaystyle \scriptstyle \approx }$	4,359
${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {5}}}$	${\displaystyle \scriptstyle \approx }$	2,236	${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {10}}}$	${\displaystyle \scriptstyle \approx }$	3,162	${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {15}}}$	${\displaystyle \scriptstyle \approx }$	3,873	${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {20}}}$	${\displaystyle \scriptstyle \approx }$	4,472

Odhad

Pro racionální číslo větší než 1 a menší než 100 odhadujeme nejbližší nižší a vyšší odmocninu celého čísla.

2 < ${\displaystyle {\sqrt {7}}}$ < 3 (2² = 4, 3² = 9)

Číslo větší než 100 rozdělíme do skupin po dvou číslicích od základního místa (od řádu jednotek včetně). Počet skupin určuje počet číslic výsledku. První skupina zleva nemusí být úplná a odhaduje se postupem pro čísla menší než 100 s následným doplněním nul do počtu zbývajících skupin.

200 < ${\displaystyle {\sqrt {52744}}}$ < 300 (skupiny 5'27'44 = ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ . 100)

Obdobně postupujeme s kladnými čísly menšími než 1, kdy je shodné dělení do skupin s počtem číslic výsledku za desetinnou čárkou. Pro tato čísla se případná neúplná skupina první zprava doplní připsáním nuly zprava.

0,06 < ${\displaystyle {\sqrt {0{,}004}}}$ < 0,07 (skupiny 0,00'40' = ${\displaystyle {\sqrt {40}}}$ : 100)

Iterativní metody výpočtu

Tato část článku potřebuje úpravy.

Můžete Wikipedii pomoci tím, že ji vylepšíte. Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl, Encyklopedický styl a Odkazy.

Výpočet odmocniny čísla odmocňováním dvěma vychází beze zbytku či se zbytkem. Pokud není druhá odmocnina celočíselná, lze u zbytku zvolit přesnost pomocí počtu desetinných míst výsledku. Následují příklady ilustrují výpočet pro oba případy.

Beze zbytku

${\displaystyle {\sqrt {645{,}16}}}$

a) od základního místa se rozdělí číslo na skupiny po dvou číslicích. Případná neúplná skupina zprava doplní připsáním nuly. Počet skupin určí počet číslic výsledku od základního místa.

${\displaystyle {\sqrt {6'45{,}16'}}}$ (výsledek bude desetinné číslo od řádu desítek)

b) odhadneme nejbližší nižší odmocninu celého čísla z první skupiny zleva. (${\displaystyle {\sqrt {6}}}$ = 2 a v řádu desítek zapíšeme do výsledku ⇒ 2.,.)

c) od první skupiny odmocněnce odečteme druhou mocninu číselného výsledku bez ohledu na desetinnou čárku výsledku z předchozího kroku (b). Přidáme další skupinu. (6 - 2 . 2 = 2; tedy 2'45 ⇒ 245 zbytek)

d) z čísla z kroku (c) oddělíme poslední číslici a vzniklé číslo dělíme dvojnásobkem neúplného výsledku (b) (24 : (2 . 2) ≈ 6). Výsledný podíl zapíšeme do výsledku v řádu jednotek, jen pokud rozdíl zbytku je kladné číslo. Jinak musíme výsledek snížit o jedna a znova vypočítat rozdíl zbytku. Rozdíl zbytku se vypočte ze zbytku (c) zmenšeného o složeninu dvojnásobku neúplného výsledku s výsledným podílem vynásobený výsledným podílem. Tedy 245 - (4'6 . 6) < 0 musí se výsledný podíl 6 snížit o jedna na 5; pak 245 - (4'5 . 5) = 20 a 5 zapíšeme do výsledku ⇒ 25, jako zbytek se zapíše 20)

e) opakuje se krok (c), který dá výsledkem z kroku (d), dokud není rozdíl nulový po zaokrouhlení na předem zvolený počet desetinných míst. Přidání další skupiny k rozdílu 20'16 ⇒ 201 : (2 . 25) ≈ 4; tedy 2016 - (50'4 . 4) = 0 (výpočet končí, zbytek roven nule) a 4 zapíšeme do výsledku ⇒ 25,4

Zkouška: 25,4² = 645,16

Se zbytkem, např. odmocnina s přesností na tři desetinná místa

${\displaystyle {\sqrt {7}}}$

a) ${\displaystyle {\sqrt {7{,}00'00'00'}}}$ (výsledek bude desetinné číslo od řádu jednotek)

b) ${\displaystyle {\sqrt {7}}}$ = 2 a v řádu jednotek zapíšeme do výsledku ⇒ 2,...)

c) 7 - 2² = 3; tedy 3'00 ⇒ 300

d) 30 : (2 . 2) ≈ 7; tedy 300 - (4'7 . 7) < 0 musí se podíl 7 snížit o jedna na 6; pak 300 - (4'6 . 6) = 24 a 6 zapíšeme do výsledku ⇒ 2,6..

e₁) přidání další skupiny k rozdílu 24'00 ⇒ 240 : (2 . 26) ≈ 4; tedy 2400 - (52'4 . 4) = 304 a 4 zapíšeme do výsledku ⇒ 2,64.

e₂) přidání další skupiny k rozdílu 304'00 ⇒ 3040 : (2 . 264) ≈ 5; tedy 30400 - (528'5 . 5) = 3975 (zbytek) a 5 zapíšeme do výsledku ⇒ 2,645

Zkouška: 2,645² = 6,996025 + 0,003975 = 7. Poznámka: zopakováním postupu (provede se další iterace) dostaneme výsledek e_n), který je zpřesněním výsledku předchozí iterace e_n-1).

Odkazy

Související články

• Odmocnina
• Umocňování

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu druhá odmocnina na Wikimedia Commons
• Druhá odmocnina v encyklopedii MathWorld (anglicky)
• Velmi přesné hodnoty druhých odmocnin některých přirozených čísel