Cyklický kód

Cyklický kód je v teorii kódování lineární kód, který je uzavřený vzhledem k cyklickému posunu.

Formální definice

Lineární kód C se na­zý­vá cyklický kód, jestliže pro každé kódové slovo (a0, a1, a2, ...,an-1) je také slovo (an-1, a0, a1,..., an-2) kó­do­vým slovem.

Kódová slova cyklického kódu délky n se zapisují ve tvaru formálních polynomů stupně men­šího než n s využitím izomorfismu ( a 0 , a 1 , … , a n − 1 ) → a 0 + a 1 x + ⋯ + a n − 1 x n − 1 {\displaystyle (a_{0},a_{1},\dots ,a_{n-1})\to a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n-1}x^{n-1}} .

Cyklický posun odpovídá násobení polynomem x modulo xn-1: x ⋅ ( a 0 + a 1 x + ⋯ + a n − 1 x n − 1 ) mod ( x n − 1 ) = a n − 1 + a 0 x + a 1 x 2 + ⋯ + a n − 2 x n − 1 {\displaystyle x\cdot (a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n-1}x^{n-1}){\bmod {(}}x^{n}-1)=a_{n-1}+a_{0}x+a_{1}x^{2}+\cdots +a_{n-2}x^{n-1}} .


Generující polynom

Každý netriviální (tj. obsahující více než jedno slovo) cyklický (n,k)-kód C obsahuje (právě jeden, až na násobek) po­lynom g(x) stupně n-k. Je to polynom nejmenšího stupně mezi všemi nenulovými polynomy kó­du C. Polynom g(x) se nazývá generující polynom kódu C a má následující vlastnosti:

  • Kód C se skládá právě ze všech násobků polynomu g(x).
  • Polynomy g(x), xg(x), x2g(x),...,xk-1g(x) tvoří bázi kódu C.
  • Polynom g(x) dělí polynom xn-1 beze zbytku.

Cyklický kód je tedy jednoznačně určen svým generujícím polynomem.

Kontrolní polynom

Polynom h(x) = (xn-1):g(x) nazveme kontrolním polynomem kódu C. Platí, že daný polynom v(x) je v kódu C, právě když platí v(x)h(x)≡0 mod (xn-1).

Kód, generovaný polynomem h(x), je ekvivalentní s kódem, duálním ke kódu C.

Generující matice

Jedna z generujících matic cyklického kódu C s generujícím polynomem g(x)=g0+g1x+...+gn-kxn-k (o k řádcích a n sloupcích) má tvar G = ( g 0 g 1 … g n − k 0 0 … 0 0 g 0 … g n − k − 1 g n − k 0 … 0 ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋮ 0 0 … g 0 g 1 … g n − k ) . {\displaystyle \mathbf {G} ={\begin{pmatrix}g_{0}&g_{1}&\dots &g_{n-k}&0&0&\dots &0\\0&g_{0}&\dots &g_{n-k-1}&g_{n-k}&0&\dots &0\\\vdots &&\ddots &&\ddots &&\ddots &\vdots \\0&0&\dots &g_{0}&g_{1}&&\dots &g_{n-k}\end{pmatrix}}.}

Kvazicyklické kódy

Zobecněním cyklických kódů jsou kódy kvazicyklické. Kód C je kvazicyklický, pokud pro nějaké celé číslo s platí, že cyklickým posunutím kódového slova o s pozic vznikne opět kódové slovo.


Pahýl
Pahýl
 Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace.
Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty.