Bealova domněnka

Bealova domněnka je nápadem amatérského matematika Andrewa Beala.

Při zkoumání a zevšeobecňování Velké Fermatovy věty roku 1993 sestavil Beal následující odhad:

Jestliže ${\displaystyle A^{k}+B^{l}=C^{m},\,}$

kde A, B, C, k, l, a m jsou kladná celá čísla, přičemž k, l, m > 2, pak A, B, C musí mít společného dělitele ve svém prvočíselném rozkladu.

Beal nabídl cenu 1 000 000 dolarů (zdroj: ČTK, 05.06.2013) za dokázání této domněnky, případně za nalezení protipříkladu.

Příklad

Pro ilustraci řešení 3³ + 6³ = 3⁵ byl dán základ se společným dělitelem v prvočíselném rozkladu 3 a řešení 7⁶ + 7⁷ = 98³ o společném děliteli 7. Pak má rovnice skutečně nekonečno řešení, například ve tvaru:

${\displaystyle \left[a\left(a^{m}+b^{m}\right)\right]^{m}+\left[b\left(a^{m}+b^{m}\right)\right]^{m}=\left(a^{m}+b^{m}\right)^{m+1}}$

pro všechna ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle m>3}$. Nicméně žádné řešení rovnice není protipříkladem k domněnce, protože základy mají společný faktor prvočíselného rozkladu, kterým je ${\displaystyle a^{m}+b^{m}}$.

Vlastnosti

Při počítačovém zpracování za použití AID při modulární aritmetice byla podmínka ověřena pro všech šest proměnných až do 1000. Pak tedy v každém protipříkladu musí být alespoň jedna proměnná větší než tisíc.

Výrok, že k, l, m (namísto A, B, C) musí mít společný faktor v prvočíselném rozkladu není pravdivý. Například: ${\displaystyle 27^{4}+162^{3}=9^{7}}$.

Bealova domněnka je zevšeobecněním Velké Fermatovy věty opírající se o případ: ${\displaystyle k=l=m}$. Jestliže ${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$ kde ${\displaystyle n\geq 3}$, pak buď základy jsou nesoudělné nebo sdílejí společného dělitele v prvočíselném rozkladu. Jestliže jej sdílejí, můžeme jej vytknout z rovnice a získat tak menší nesoudělné základy.

Domněnka neplatí pro širší základnu Gaussových celých čísel. Byla vypsána odměna 50 $ za protipříklad. Fred W. Helenius poté ukázal, že (−2 + i)³ + (−2 − i)³ = (1 + i)⁴

Externí odkazy

• http://www.bealconjecture.com/
• http://www.math.unt.edu/~mauldin/beal.html
• http://www.ams.org/notices/199711/beal.pdf
• http://mathoverflow.net/questions/28764/status-of-beal-tijdeman-zagier-conjecture
• A search for counterexamples - http://www.norvig.com/beal.html
• http://planetmath.org/encyclopedia/BealsConjecture.html Archivováno 17. 12. 2005 na Wayback Machine.
• http://www.ceskenoviny.cz/veda_a_technika/zpravy/947151

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Beal's conjecture na anglické Wikipedii.