Aritmetická posloupnost

Aritmetická posloupnost je druh matematické posloupnosti, kde je stálý rozdíl mezi sousedními členy. Tento rozdíl mezi libovolným členem kromě prvního a předcházejícím členem se obvykle značí d a nazývá diference. Aritmetickou posloupnost lze chápat jako lineární funkci definovanou v oboru přirozených čísel a proto i pro svou jednoduchost je jedním z nejdůležitějších typů posloupností. Zobecněním je aritmetická posloupnost vyššího řádu (někdy též vyššího stupně), jejíž i-tý člen lze vyjádřit jako hodnotu nějakého pevného polynomu pro dané i. Řád aritmetické posloupnosti pak definujeme jako stupeň tohoto polynomu, přičemž posloupnost samých nul má řád -1.^[1]

Vzorce

V následujících vzorcích označuje ${\displaystyle a_{n}}$ n-tý člen aritmetické posloupnosti a d její diferenci.

Rekurentní zadání

• známe některý člen a jeho index: ${\displaystyle i,a_{i}}$

• známe rekurentní vzorec vyjadřující, že sousední členy se liší o konstantu: ${\displaystyle \,a_{n+1}=a_{n}+d}$

Zadání vzorcem pro n-tý člen

${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot d}$

Vyjádření r-tého členu z s-tého

${\displaystyle a_{r}=a_{s}+(r-s)\cdot d}$

Součet prvních n členů

${\displaystyle s_{n}={\frac {n\cdot (a_{1}+a_{n})}{2}}=na_{1}+{\frac {1}{2}}n(n-1)d}$

Odvození vzorce pro součet prvních n členů

Součet prvních ${\displaystyle n}$ členů aritmetické posloupnosti lze spočítat následovně:

${\displaystyle s_{n}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}=a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)+\ldots +[a_{1}+(n-2)d]+[a_{1}+(n-1)d]}$

Napišme součet znovu, ale v obráceném pořadí sčítanců:

${\displaystyle s_{n}=[a_{1}+(n-1)d]+[a_{1}+(n-2)d]+\ldots +(a_{1}+d)+a_{1}}$

Vidíme, že součty odpovídajících členů "pod sebou" jsou stejné:

${\displaystyle 2s_{n}=n\cdot [a_{1}+a_{1}+(n-1)d],}$

${\displaystyle s_{n}={\frac {n\cdot (a_{1}+a_{n})}{2}}.}$

Historická souvislost

Pro důkaz vzorce pro výpočet součtu aritmetické posloupnosti (viz přiložený animovaný obrázek) je možné využít příběh o mladém matematikovi K. F. Gaussovi (1777–1855). Když byl Gauss malým žáčkem, potřeboval žáčky jejich učitel zaměstnat, a tak jim zadal úkol sečíst čísla od 1 do 100. Zatímco spolužáci byli teprve na začátku výpočtu, malý žáček Gauss již hlásil výsledek (celkem 5 050). Uvědomil si totiž, že když si napíše řadu čísel 1 až 100 a nad ní stejnou řadu v obráceném pořadí, bude součet pod sebou napsaných čísel vždy 101 (první a poslední člen je ${\displaystyle 1+100=101}$, druhý a předposlední člen je ${\displaystyle 2+99=101}$, atd.) a těchto součtů bude celkem 100. Takže celkový součet bude ${\displaystyle 100\cdot 101=10100}$, avšak řada je v něm započtena dvakrát, takže je výsledek nutné vydělit dvěma, a proto bude součet řady ${\displaystyle s_{100}={\frac {100\cdot (100+1)}{2}}=5050}$.^[2]

Příklad

Například je-li ${\displaystyle a_{1}=-5}$ a ${\displaystyle d=3}$, pak několik prvních členů aritmetické posloupnosti je: −5, −2, 1, 4, 7, 10, 13, …

Souvislost s aritmetickým průměrem

Pro aritmetickou posloupnost platí, že každý člen kromě prvního je aritmetickým průměrem obou sousedních členů:

${\displaystyle \ a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}}$

Obráceně pokud tato vlastnost platí pro všechny členy posloupnosti počínaje druhým, tak se jedná o aritmetickou posloupnost (důkaz např. matematickou indukcí).

Souvislost s geometrickou posloupností

Je-li posloupnost ${\displaystyle a_{n}}$ aritmetická, tak je posloupnost ${\displaystyle b^{a_{n}}}$ geometrická (pro libovolný základ b≥0).

Je-li posloupnost ${\displaystyle g_{n}}$ geometrická s kladnými členy, tak je posloupnost ${\displaystyle \quad \log _{b}g_{n}}$ aritmetická (pro libovolný základ b>0, b≠1).

Aritmetická řada

Součet členů aritmetické posloupnosti je označován jako aritmetická řada. Kromě případu posloupnosti samých nul je řada divergentní.

Součet aritmetické řady je dán jako limita posloupnosti n-tých částečných součtů. Platí tedy

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=\pm \infty }$,

kde kladné znaménko platí pro ${\displaystyle d>0}$ anebo ${\displaystyle d=0,a_{1}>0}$ a záporné pro ${\displaystyle d<0}$ anebo ${\displaystyle d=0,a_{1}<0}$.

Pro ${\displaystyle a_{1}=d=0}$ je součet

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=0.}$

Odkazy

Reference

Související články

• Geometrická posloupnost
• Harmonická posloupnost
• Aritmeticko-geometrická posloupnost

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu aritmetická posloupnost na Wikimedia Commons