Topologia del límit inferior

En matemàtiques, la topologia del límit inferior, anomenada també topologia de Sorgenfrey, és una topologia definida sobre la recta real. S'anomena recta de Sorgenfrey a l'espai topològic resultant, denotat per ${\displaystyle \mathbb {R} _{\ell }}$. Aquesta topología està generada per la base ${\displaystyle \beta =\{[a,b)\ :\ a<b\}}$ on ${\displaystyle a,b}$ són nombres reals. L'espai producte ${\displaystyle \mathbb {R} _{\ell }\times \mathbb {R} _{\ell }}$ s'anomena pla de Sorgenfrey. El nom d'aquests espais és en honor de Robert Sorgenfrey.

Propietats

• La topologia del límit inferior és una topologia estrictament més fina que la topologia usual (tot obert en ${\displaystyle \mathbb {R} }$ amb la topologia usual és obert en ${\displaystyle \mathbb {R} _{\ell }}$, però no al contrari), ja que tot interval obert ${\displaystyle (a,b)}$ es pot expressar com una unió d'oberts de la topologia de Sorgenfrey:

${\displaystyle (a,b)=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }[a+{(b-a) \over 2n},b)}$

• Els intervals de la forma ${\displaystyle [a,b)}$, ${\displaystyle [a,+\infty )}$ y ${\displaystyle (-\infty ,a)}$ són oberts i tancats en la recta de Sorgenfrey. A més a més, els punts són tancats, però no són oberts.^[1]

• És un espai totalment disconnex.

• És un espai Hausdorff perfectament normal. Com a conseqüència, també és T₀ i T₁.

• És ANI^[2] i separable,^[1] però no és ANII.

• És de Lindelöf i paracompacte, però no és σ-compacte ni localment compacte.

• No és metritzable ja que tot espai metritzable i separable és ANII.

• És un espai de Baire.

Vegeu també

• Espai topològic
• Espai de Hausdorff
• Espai separable

Bibliografia

• Munkres, James; Topology, Prentice Hall; 2ª ed. (29 de diciembre 1999). ISBN 0-13-181629-2
• Steen, Lynn Arthur & Seebach, J. Arthur Jr. (1995), Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, MR 507446, ISBN 978-0-486-68735-3
• B. Mendelson, Introduction to topology, Dover Publications, New York, 1990.

Referències