Teorema de Heine-Borel

En matemàtiques, el teorema de Heine-Borel també anomenat teorema de Borel-Lebesgue estableix que un subconjunt de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ és tancat i acotat si i només si és compacte, és a dir si tot recobriment admet un subrecobriment finit. El cas particular del teorema aplicat a la recta real s'anomena sempre Teorema de Heine-Borel, mentre que fora d'aquest cas rep de vegades, el nom de Teorema de Borel-Lebesgue.

Les formulacions principals d'aquest teorema es deuen als matemàtics Eduard Heine, Émile Borel, Henri Léon Lebesgue, Bernard Bolzano i Karl Weierstrass.

Història i motivació

La història del que avui s'anomena teorema de Heine-Borel comença al segle xix, amb la cerca de teories sòlides per l'anàlisi real. En la teoria descrita era central el concepte de continuïtat uniforme i més concretament el teorema que indica que cada funció contínua en un interval tancat és uniformement contínua. Peter Gustav Lejeune Dirichlet va ser el primer en demostrar-la i implícitament en la demostració va utilitzar l'existència d'un subconjunt finit d'un conjunt obert donat d'un interval tancat.^[1] Més tard, altres matemàtics com Eduard Heine, Karl Weierstrass i Salvatore Pincherle van utilitzar tècniques similars. Al 1895, Émile Borel va ser el primer en declarar i demostrar una forma primerenca del teorema, amb una formulació restringida a conjunts contables. Pierre Cousin, Lebesgue i Arthur Schoenflies el van generalitzar a conjunts arbitraris.^[1]

Teoremes Preliminars

Sigui F un conjunt tancat i K un conjunt compacte tals que ${\displaystyle F\subset K\subset \mathbb {R} ^{n}}$. Notem per ${\displaystyle F^{c}}$ el complement de F respecte a K.

Sigui ${\displaystyle \{G_{a}\}}$ un recobriment per oberts de F, llavors ${\displaystyle \{G_{a}\}\cup \{F^{c}\}}$ és un recobriment per oberts de K (podem afegir ${\displaystyle F^{c}}$ ja que és obert). Com que K és compacte llavors ${\displaystyle \{G_{a},F^{c}\}}$ té un refinament finit que també recobreix F. Podem treure ${\displaystyle F^{c}}$ i segueix recobrint F. Així obtenim un refinament finit de qualsevol recobriment per oberts de F

Si E no tingués punts d'acumulació en K llavors ${\displaystyle \forall a\in K,\,\exists B_{\varepsilon }(a)=a}$ on ${\displaystyle B_{\varepsilon }}$ és un entorn de radi ε > 0. És clar que el conjunt d'aquests entorns forma un recobriment de E però no té un refinament finit, el mateix compliria per K que contradiria la hipòtesi que K és compacte.

Sigui ${\displaystyle I}$ una k-cel·la que consisteix en tots els punts x = (x₁, x₂, ..., x_k) tal que ${\displaystyle a\leq x_{j}\leq b}$ i ${\displaystyle j\in \{1,2,...,k\}}$. Sigui ${\displaystyle \delta =(\sum (b_{j}-a_{j})^{2})^{1/2}}$ llavors si ${\displaystyle x,y\in I}$, ${\displaystyle |xy|<\delta }$. Sigui ${\displaystyle \{G_{a}\}}$ un recobriment arbitrari de I i suposem que I no es pot recobrir amb una família finita dels ${\displaystyle G_{a}}$.

Prenem ${\displaystyle c_{s}={\frac {a_{s}+b_{s}}{2}}}$ llavors els intervals ${\displaystyle [a_{s},c_{s}];[c_{s},b_{s}]}$ determinen 2_k cel·les Q_i amb ${\displaystyle i\in \{1,2,...,2^{k}\}}$. Llavors com a mínim un Q_i no es pot recobrir amb una quantitat finita de ${\displaystyle G_{a}}$. L'anomenarem I₁ i així obtenim una successió I_n tal que:

1. ${\displaystyle I_{1}\supset I_{2}\supset I_{3}\supset ...}$.
2. ${\displaystyle I_{n}}$ no es pot recobrir amb una quantitat finita dels ${\displaystyle G_{a}}$.
3. Si ${\displaystyle x,y\in I_{n}}$ llavors ${\displaystyle |xy|<2^{-n}\delta }$.
4. ${\displaystyle \bigcap _{n}I_{n}\neq \emptyset }$

Diguem que ${\displaystyle h\in \bigcap _{n}I_{n}}$; com ${\displaystyle \bigcup _{a}G_{a}}$ recobreix I llavors ${\displaystyle h\in G_{b}\subset \bigcup _{a}G_{a}}$. Com que G_b és obert existeix un ${\displaystyle B_{\varepsilon }(h)\subset G_{b}}$. Si prenem n prou gran tal que ${\displaystyle 2^{-n}\delta <\varepsilon }$ tenim que aquest ${\displaystyle I_{n}\subset B_{\varepsilon }(h)\subset G_{b}}$ el que contradiu la suposició que no es pot recobrir amb una quantitat finita dels ${\displaystyle G_{a}}$.

Demostració del teorema de Heine-Borel

Enunciat: Si un conjunt ${\displaystyle E\subset \mathbb {C} ^{n}}$ té algunes de les propietats, aleshores també té les altres dues (és a dir, són totes equivalents):

1. E és tancat i connex.
2. E és acotat.
3. Tot subconjunt infinit de E té un punt d'acumulació a la frontera de E.

Demostració: Si compleix 1) llavors ${\displaystyle E\subset I}$ per a alguna k-cel·la ${\displaystyle I}$, i 1) implicaria 2) pels teoremes 1 i 3 anteriors.

Si es compleix 2), llavors es compleix 3) pel teorema 2 anterior.

Ara falta demostrar que si compleix 3), aleshores compleix 1): Si E no és connex aleshores conté un conjunt ${\displaystyle {x_{n}}}$ tal que ${\displaystyle |x_{n}|>n}$, llavors el subconjunt ${\displaystyle {x_{n}}}$ és finit i té un límit en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, la qual cosa contradiu 3). Si E no és obert llavors hi ha un element ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$ que és un punt d'acumulació de E però no és a E. Per a ${\displaystyle n=1,2,...}$ hi ha ${\displaystyle x_{n}\in E}$ tals que ${\displaystyle |x_{n}-x_{0}|<1/n}$, llavors el conjunt ${\displaystyle {x_{n}}}$ és infinit i té límit contingut en ell mateix, la qual cosa contradiu 3). (Q.E.D.)

Vegeu també

• Conjunt de Borel

Referències

Bibliografia

• Apostol, Tom M. Mathematical Analysis. 2a ed.. Addison-Wesley, 1974, p. 58-60.