Relació transitiva

Exemple: Si a és més gran que b i b és més gran que c, llavors a és més gran que c.
Escoltar l'article (info/dl)
noicon

En matemàtiques, la transitivitat és una propietat que pot tenir una relació binària. Una relació R sobre un conjunt A és transitiva quan es compleix que sempre que un element es relaciona amb un segon i aquest segon amb un tercer, llavors el primer també es relaciona amb el tercer.[1][2][3]

Expressat més formalment:

∀ a , b , c ∈ A : a R b ∧ b R c ⟹ a R c {\displaystyle \forall a,b,c\in A:\quad aRb\land bRc\Longrightarrow aRc}

Exemples

Relacions d'ordre en els naturals

Un exemple de relació binària transitiva, en el conjunt N {\displaystyle \mathbb {N} } dels nombres naturals, és la relació «menor o igual que» ( ≤ {\displaystyle \leq } ):

∀ a , b , c ∈ N : a ≤ b ∧ b ≤ c ⟹ a ≤ c {\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {N} :\quad a\leq b\land b\leq c\Longrightarrow a\leq c}

Per exemple:

2 , 5 , 7 ∈ N : 2 ≤ 5 ∧ 5 ≤ 7 ⟹ 2 ≤ 7 {\displaystyle 2,5,7\in \mathbb {N} :\quad 2\leq 5\land 5\leq 7\Longrightarrow 2\leq 7}

En general les relacions d'ordre (ser menor, major, igual, menor o igual, major o igual) són transitives.

Divisibilitat de naturals

El mateix és cert amb la relació «divideix a», en el conjunt dels nombres naturals:

∀ a , b , c ∈ N : a | b ∧ b | c ⟹ a | c {\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {N} :\quad a|b\land b|c\Longrightarrow a|c}

Per tot a , b , c ∈ N {\displaystyle a,b,c\in \mathbb {N} } , si a és divisor de b i b és divisor de c, llavors a és divisor de c. Per exemple, donat que 3|12 (3 divideix 12) i 12|48 (12 divideix 48), la transitivitat estableix que 3|48 (3 divideix 48).

Referències

  1. ↑ «Transitive Relations - Definition, Examples, Properties» (en anglès). [Consulta: 26 gener 2022].
  2. ↑ «Transitive Relation». [Consulta: 26 gener 2022].
  3. ↑ «Transitive relation - Encyclopedia of Mathematics». [Consulta: 29 gener 2022].

Vegeu també