Nombre triangular

Els sis primers nombres triangulars.

Un nombre triangular és el resultat de sumar els n primers nombres naturals. S'anomenen d'aquesta manera perquè són el nombre d'elements necessaris per crear un triangle equilàter.

La fórmula per trobar l'n-èsim nombre triangular és:

T n = ∑ k = 1 n k = 1 + 2 + 3 + ⋯ + ( n − 1 ) + n = n ( n + 1 ) 2 {\displaystyle T_{n}=\sum _{k=1}^{n}k=1+2+3+\dotsb +(n-1)+n={\frac {n(n+1)}{2}}}

També és igual al coeficient binomial ( n + 1 2 ) {\displaystyle {n+1 \choose 2}} .

Observem que cada nombre triangular T n {\displaystyle T_{n}} conté una fila més que l'anterior, T n − 1 {\displaystyle T_{n-1}} , de forma que es compleix la següent recurrència:

T n = T n − 1 + n {\displaystyle T_{n}=T_{n-1}+n}

Origen

Tot i que actualment, es pren per conveni el primer nombre triangular com l'1, el primer nombre triangular històricament rellevant fou el Tetraktys, format per deu punts. Els nombres triangulars, i en particular el Tetractys, foren estudiats àmpliament pel filòsof Pitàgores i els seus deixebles. Els pitagòrics consideraven el nombre 10 un nombre universal, ja que segons ells el nombre 10 englobava tot l'univers seguint el següent principi:

  • El 10 era la suma de l'1, el 2, el 3 i el 4.
  • L'1 simbolitzava un punt, la mínima dimensió possible.
  • El 2 simbolitzava la longitud, ja que amb dos punts s'hi pot traçar una recta.
  • El 3 simbolitzava l'àrea, ja que amb tres punts es pot traçar un triangle.
  • El 4 simbolitzava el volum, ja que amb quatre punts es pot construir un tetraedre.

Suma de nombres triangulars

Demostracions visuals de sumes de nombres triangulars

Consecutius

Quan se sumen dos nombres triangulars consecutius sempre dona un quadrat perfecte, en terminologia de Pitàgores, un nombre quadrat. Tenim:

T n = n ( n + 1 ) 2 {\displaystyle T_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}}

T n − 1 = ( n − 1 ) ( n − 1 + 1 ) 2 = n ( n − 1 ) 2 {\displaystyle T_{n-1}={\frac {(n-1)(n-1+1)}{2}}={\frac {n(n-1)}{2}}}

Per tant, sumant-los:

T n + T n − 1 = n ( n + 1 ) 2 + n ( n − 1 ) 2 = n 2 {\displaystyle T_{n}+T_{n-1}={\frac {n(n+1)}{2}}+{\frac {n(n-1)}{2}}=n^{2}}

Iguals

La suma de dos nombres triangulars iguals ens dona una figura romboide, un nombre rectangular o oblong. Vegem el seu terme general:


T n + T n = 2 T n = 2 n ( n + 1 ) 2 = n ( n + 1 ) {\displaystyle T_{n}+T_{n}=2T_{n}=2\,{\frac {n(n+1)}{2}}=n(n+1)}

Suma dels primers nombres triangulars

La suma dels n primers nombres triangulars és coneguda com a nombre tetraèdric, així l'enèsim nombre tetraèdric és la suma dels primers n nombres triangulars. La seva expressió és:


S = n ( n + 1 ) ( n + 2 ) 6 {\displaystyle S={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}}

Test per comprovar si un nombre és triangular

Per comprovar si un nombre és triangular es pot realitzar la següent operació:

n = 8 x + 1 − 1 2 {\displaystyle n={\frac {{\sqrt {8x+1}}-1}{2}}}

Si n és un enter, aleshores x és l'n-èsim nombre triangular. Si n no és un enter, aleshores x no és triangular.

Vegeu també

  • Triangle de Tartaglia