Matriu de decalatge

En matemàtiques, una matriu de decalatge és una matriu booleana amb entrades iguals a 1 només a la superdiagonal o a la subdiagonal, i zeros altrament. Una matriu de decalatge U amb valors 1 a la superdiagonal s'anomena matriu de decalatge superior (la notació U prové de l'anglès upper, superior). Anàlogament, una matriu de decalatge L amb valors 1 a la subdiagonal s'anomena matriu de decalatge inferior (la notació L prové de l'anglès lower, inferior). L'entrada (i,j)-sima de U i L es defineix per

${\displaystyle U_{ij}=\delta _{i+1,j},\quad L_{ij}=\delta _{i,j+1},}$

on ${\displaystyle \delta _{ij}}$ és el símbol delta de Kronecker.

Per exemple, les matrius de decalatge 5×5 són

${\displaystyle U_{5}={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}\quad L_{5}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}}.}$

Òbviament, la transposada d'una matriu de decalatge inferior és una matriu de decalatge superior i viceversa.

Si multipliquem per l'esquerra una matriu A per una matriu de decalatge inferior (resp. superior), obtenim una altra matriu on els elements de A s'han desplaçat una posició cap avall (resp. cap amunt), i amb zeros a la primera (resp. última) fila. Anàlogament, si multipliquem per la dreta per una matriu de decalatge inferior (resp. superior), veurem que els elements es desplacen una posició cap a l'esquerra (resp. dreta).

Hom pot veure fàcilment que qualsevol matriu de decalatge és nilpotent; una matriu de decalatge S de mida n per n esdevé la matriu zero quan s'eleva a l'n-sima potència.

Propietats

Siguin L i U les matrius de decalatge inferior i superior de mida n per n, respectivament. Llavors hom pot observar-ne les següents propietats:

• det (U) = 0
• tr (U) = 0
• rang (U) = n−1
• El polinomi característic de U és

${\displaystyle p_{U}(\lambda )=(-1)^{n}\lambda ^{n}.}$

• Uⁿ = 0. Això es desprèn de la propietat anterior pel Teorema de Cayley-Hamilton.
• El permanent de U és 0.

(anàlogament per L)

Les següents propietats mostren la relació entre U i L:

• L^T = U; U^T = L
• Els nuclis de U i L són

${\displaystyle \operatorname {nuc} (U)=\langle (1,0,\ldots ,0)^{T}\rangle ,}$

${\displaystyle \operatorname {nuc} (L)=\langle (0,\ldots ,0,1)^{T}\rangle .}$

• L'espectre de U i L és ${\displaystyle \{0\}}$. La multiplicitat algebraica de 0 és n, i la seva multiplicitat geomètrica és 1. A partir de les expressions dels nuclis, és una conseqüència que l'únic vector propi (llevat d'homotècia) de U és ${\displaystyle (1,0,\ldots ,0)^{T}}$, i l'únic vector propi de L és ${\displaystyle (0,\ldots ,0,1)^{T}}$.
• Per LU i UL tenim

${\displaystyle UL=I-\operatorname {diag} (0,\ldots ,0,1),}$

${\displaystyle LU=I-\operatorname {diag} (1,0,\ldots ,0).}$

Aquestes dues matrius són idempotents, simètriques, i tenen el mateix rang que U i L.

• L^n-aU^n-a + L^aU^a = U^n-aL^n-a + U^aL^a = I (la matriu identitat), per qualsevol enter a entre 0 and n (ambdós inclosos).

Exemples

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}};\quad A={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}}.}$

Llavors ${\displaystyle SA={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\end{pmatrix}};\quad AS={\begin{pmatrix}1&1&1&1&0\\2&2&2&1&0\\2&3&2&1&0\\2&2&2&1&0\\1&1&1&1&0\end{pmatrix}}.}$

Existeixen moltes permutacions possibles. Per exemple, ${\displaystyle S^{T}AS}$ és igual a la matriu A desplaçada cap amunt i cap a l'esquerra al llarg de la diagonal principal.

${\displaystyle S^{T}AS={\begin{pmatrix}2&2&2&1&0\\2&3&2&1&0\\2&2&2&1&0\\1&1&1&1&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}.}$

Referències

• Beauregard, Raymond A. & Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Co., ISBN 0-395-14017-X
• Herstein, I. N. (1964), Topics In Algebra, Waltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016

Bibliografia

• Shift Matrix (Matriu de decalatge) - entrada en el Matrix Reference Manual (en anglès)

Vegeu també

• Matriu nilpotent