Matriu de Gram

En àlgebra lineal, la matriu de Gram d'un conjunt de vectors v 1 , … , v n {\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}} en un espai prehilbertià, és la matriu que defineix el producte escalar, les entrades del qual venen donades per G i j = ( v i | v j ) {\displaystyle G_{ij}=(v_{i}|v_{j})} . El seu nom és degut al matemàtic danès Jørgen Pedersen Gram.

Propietats

Una matriu de Gram, G, és una matriu quadrada real que compleix les següents propietats:

g i j = g j i {\displaystyle g_{ij}=g_{ji}}
  • És una matriu semidefinida positiva, i totes les matrius semidefinides positives són la matriu de Gram d'algun conjunt de vectors. Aquest conjunt generalment no és únic: la matriu de Gram de qualsevol base ortonormal és una matriu identitat. L'analogia en dimensió infinita d'això seria el Teorema de Mercer.
  • El primer element és positiu o nul.
g 11 ≥ 0 {\displaystyle g_{11}\geq 0}
  • Els seus determinants principals són positius o nuls.
  1. | g 11 g 12 g 21 g 22 | ≥ 0 {\displaystyle {\begin{vmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\\\end{vmatrix}}\geq 0}
  2. | G | ≥ 0 {\displaystyle {\begin{vmatrix}G\end{vmatrix}}\geq 0}

Aplicacions

Una de les aplicacions més importants d'aquesta matriu és la comprovació de la independència lineal: un conjunt de vectors serà linealment independent si i només sí el determinant de Gram no és nul.

Determinant de Gram

El determinant de Gram és el determinant de la matriu de Gram:

G ( x 1 , … , x n ) = | ( x 1 | x 1 ) ( x 1 | x 2 ) … ( x 1 | x n ) ( x 2 | x 1 ) ( x 2 | x 2 ) … ( x 2 | x n ) ⋮ ⋮ ⋮ ( x n | x 1 ) ( x n | x 2 ) … ( x n | x n ) | . {\displaystyle G(x_{1},\dots ,x_{n})={\begin{vmatrix}(x_{1}|x_{1})&(x_{1}|x_{2})&\dots &(x_{1}|x_{n})\\(x_{2}|x_{1})&(x_{2}|x_{2})&\dots &(x_{2}|x_{n})\\\vdots &\vdots &&\vdots \\(x_{n}|x_{1})&(x_{n}|x_{2})&\dots &(x_{n}|x_{n})\end{vmatrix}}.}

Geomètricament, el determinant de Gram és el quadrat del volum d'un paral·lelepípede format pels vectors. En particular, els vectors són linealment independents si i només si el determinant de la matriu de Gram no és zero (si i només si la matriu de Gram no és singular).

Exemples

Normalment, els vectors són elements d'un espai euclidià, o funcions d'un espai L2, tals com funcions contínues en un interval tancat [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} .

Donada una funció de variable real { l i ( ⋅ ) , i = 1 , … , n } {\displaystyle \{l_{i}(\cdot ),\,i=1,\dots ,n\}} definida en un interval [ t 0 , t f ] {\displaystyle [t_{0},t_{f}]} , la matriu de Gram G = [ G i j ] {\displaystyle G=[G_{ij}]} , es defineix com el producte escalar estàndard de funcions: G i j = ∫ t 0 t f l i ( τ ) l j ( τ ) d τ {\displaystyle G_{ij}=\int _{t_{0}}^{t_{f}}l_{i}(\tau )l_{j}(\tau )\,d\tau } .

Donada una matriu A, la matriu A T A {\displaystyle A^{\mathrm {T} }A} és la matriu de Gram de les columnes de A, mentre que la matriu A A T {\displaystyle AA^{\mathrm {T} }} és la matriu de Gram de les files de A.

Per a una forma bilineal B definida en un subespai vectorial de dimensió finita, es defineix la matriu de Gram G associada a un conjunt de vectors v 1 , … , v n {\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}} , com G i , j = B ( v i , v j ) {\displaystyle G_{i,j}=B(v_{i},v_{j})\,} . Aquesta matriu sería la simètrica si la forma bilineal B ho fos.

Enllaços externs

  • Barth, Nils «The Gramian and K-Volume in N-Space: Some Classical Results in Linear Algebra». Journal of Young Investigators, 2, 1999. Arxivat de l'original el 2008-11-22 [Consulta: 18 gener 2009].