Lemniscata de Gerono

La lemniscata de Gerono

En geometria algebraica, la lemniscata de Gerono, és una corba algebraica plana de grau quatre i gènere zero amb la forma d'un símbol ∞ {\displaystyle \infty } , o de la xifra vuit. Té equació

x 4 − x 2 + y 2 = 0. {\displaystyle x^{4}-x^{2}+y^{2}=0.}

Va ser estudiada per Camille-Christophe Gerono.

Com que la corba és del gènere zero, pot ser parametrizada per funcions racionals; una manera de fer-ho és

x = t 2 − 1 t 2 + 1 ,   y = 2 t ( t 2 − 1 ) ( t 2 + 1 ) 2 . {\displaystyle x={\frac {t^{2}-1}{t^{2}+1}},\ y={\frac {2t(t^{2}-1)}{(t^{2}+1)^{2}}}.}

A diferència de la Lemniscata de bernoulli o la lemniscata de Booth, el punt doble a l'origen de la lemniscata de Gerono no és un punt doble ordinari, en tenir una invariant de delta de dos. La corba dual (vegeu fórmula de Plücker), dibuixada a sota, té per això un caràcter una mica diferent. La seva equació és

( x 2 − y 2 ) 3 + 8 y 4 + 20 x 2 y 2 − x 4 − 16 y 2 = 0. {\displaystyle (x^{2}-y^{2})^{3}+8y^{4}+20x^{2}y^{2}-x^{4}-16y^{2}=0.}
Dual a la lemniscata de Gerono

Referències

  • J. Dennis Lawrence. A catalog of special plane curves. Dover Publications, 1972, p. 124. ISBN 0-486-60288-5.