Lema d'Itô

En matemàtiques, el lema d'Itô o fórmula d'Itô (també anomenada fórmula Itô-Doeblin, especialment en la literatura francesa) és una identitat utilitzada en el càlcul d'Itô per trobar el diferencial d'una funció dependent del temps d'un procés estocàstic. Serveix com a contrapartida del càlcul estocàstic de la regla de la cadena. Es pot derivar heurísticament formant l'expansió de la sèrie de Taylor de la funció fins a les seves segones derivades i conservant termes fins al primer ordre en l'increment de temps i el segon ordre en l'increment del procés de Wiener. El lema s'utilitza àmpliament en finances matemàtiques, i la seva aplicació més coneguda és en la derivació de l'equació de Black-Scholes per als valors d'opcions.[1]

Motivació

Suposem que tenim l'equació diferencial estocàstica [2]

d X t = μ t   d t + σ t   d B t , {\displaystyle dX_{t}=\mu _{t}\ dt+\sigma _{t}\ dB_{t},}
on Bt és un procés de Wiener i les funcions μ t , σ t {\displaystyle \mu _{t},\sigma _{t}} són funcions deterministes (no estocàstiques) del temps. En general, no és possible escriure una solució X t {\displaystyle X_{t}} directament en termes de B t . {\displaystyle B_{t}.} Tanmateix, formalment podem escriure una solució integral [3]

X t = ∫ 0 t μ s   d s + ∫ 0 t σ s   d B s . {\displaystyle X_{t}=\int _{0}^{t}\mu _{s}\ ds+\int _{0}^{t}\sigma _{s}\ dB_{s}.}
Aquesta expressió ens permet llegir fàcilment la mitjana i la variància de X t {\displaystyle X_{t}} (que no té moments superiors). En primer lloc, observeu que cada d B t {\displaystyle \mathrm {d} B_{t}} individualment té una mitjana 0, de manera que el valor d'expectativa de X t {\displaystyle X_{t}} és simplement la integral de la funció de deriva:
E [ X t ] = ∫ 0 t μ s   d s . {\displaystyle \mathrm {E} [X_{t}]=\int _{0}^{t}\mu _{s}\ ds.}
De la mateixa manera, perquè el d B {\displaystyle dB} els termes tenen variància 1 i no hi ha correlació entre si, la variància de X t {\displaystyle X_{t}} és simplement la integral de la variància de cada pas infinitesimal en la marxa aleatòria:

V a r [ X t ] = ∫ 0 t σ s 2   d s . {\displaystyle \mathrm {Var} [X_{t}]=\int _{0}^{t}\sigma _{s}^{2}\ ds.}
Tanmateix, de vegades ens trobem davant d'una equació diferencial estocàstica per a un procés més complex Y t , {\displaystyle Y_{t},} en què el procés apareix als dos costats de l'equació diferencial. És a dir, diguem
d Y t = a 1 ( Y t , t )   d t + a 2 ( Y t , t )   d B t , {\displaystyle dY_{t}=a_{1}(Y_{t},t)\ dt+a_{2}(Y_{t},t)\ dB_{t},}
per a algunes funcions a 1 {\displaystyle a_{1}} i a 2 . {\displaystyle a_{2}.} En aquest cas, no podem escriure immediatament una solució formal com vam fer per al cas més senzill anterior. En canvi, esperem escriure el procés Y t {\displaystyle Y_{t}} en funció d'un procés més senzill X t {\displaystyle X_{t}} prenent el formulari anterior. És a dir, volem identificar tres funcions f ( t , x ) , μ t , {\displaystyle f(t,x),\mu _{t},} i σ t , {\displaystyle \sigma _{t},} de tal manera que Y t = f ( t , X t ) {\displaystyle Y_{t}=f(t,X_{t})} i d X t = μ t   d t + σ t   d B t . {\displaystyle dX_{t}=\mu _{t}\ dt+\sigma _{t}\ dB_{t}.} A la pràctica, s'utilitza el lema d'Ito per trobar aquesta transformació. Finalment, un cop hem transformat el problema en el tipus més simple de problema, podem determinar els moments mitjans i superiors del procés.[4]

Referències

  1. ↑ «Ito's Lemma | QuantStart» (en anglès). https://www.quantstart.com.+[Consulta: 24 agost 2023].
  2. ↑ «Lesson 4, Ito’s lemma» (en anglès). https://math.nyu.edu.+[Consulta: 23 agost 2023].
  3. ↑ Weisstein, Eric W. «Ito's Lemma» (en anglès). [Consulta: 24 agost 2023].
  4. ↑ «Itˆo calculus in a nutshell» (en anglès). https://quantum.phys.cmu.edu.+[Consulta: 23 agost 2023].