En matemàtiques, la funció zeta de Lerch, de vegades anomenada funció zeta de Hurwitz-Lerch, és una funció especial que generalitza la funció zeta de Hurwitz i el polilogaritme. Porta el nom del matemàtic txec Matyáš Lerch (1860-1922)[1]
Definició
La funció zeta de Lerch ve donada per
![{\displaystyle L(\lambda ,\alpha ,s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {e^{2\pi i\lambda n}}{(n+\alpha )^{s}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6118e054cbedadca75c00eb379307c714b0a0803)
Una funció relacionada, el transcendent de Lerch, ve donada per
![{\displaystyle \Phi (z,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n+\alpha )^{s}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a396128bd4243f10ee49e1b9e5d4331bca224736)
Les dues funcions estan relacionats, tal com
![{\displaystyle \,\Phi (e^{2\pi i\lambda },s,\alpha )=L(\lambda ,\alpha ,s).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16f9498f5418e1ad8731e3f435e995488bd8794c)
Representacions integrals
Una representació integral ve donada per
![{\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}e^{-at}}{1-ze^{-t}}}\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23e5861ebc706a115db7e48d236ba30629c00727)
per a
![{\displaystyle \Re (a)>0\wedge \Re (s)>0\wedge z<1\vee \Re (a)>0\wedge \Re (s)>1\wedge z=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b15b98ba902273dd8bb9c7dff5ff927f2d6daadd)
Una representació integral de contorn ve donada com
![{\displaystyle \Phi (z,s,a)=-{\frac {\Gamma (1-s)}{2\pi i}}\int _{0}^{(+\infty )}{\frac {(-t)^{s-1}e^{-at}}{1-ze^{-t}}}\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d876146b8249bae21cbb5de470dfde725c7c0f7c)
per a
![{\displaystyle \Re (a)>0\wedge \Re (s)<0\wedge z<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56f3903b444939eed770fc65ad9c921d06246c73)
on el contorn no ha de tancar cap dels punts
Hi ha una representació integral semblant a l'integral d'Hermite
![{\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {z^{t}}{(a+t)^{s}}}\,dt+{\frac {2}{a^{s-1}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan(t)-ta\log(z))}{(1+t^{2})^{s/2}(e^{2\pi at}-1)}}\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b054ccd72d21c97aee2024fa7303df81cfd0fbd7)
per a
![{\displaystyle \Re (a)>0\wedge |z|<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd323af6b3bf67f6313532cf7e7247cbc8426729)
i
![{\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+{\frac {\log ^{s-1}(1/z)}{z^{a}}}\Gamma (1-s,a\log(1/z))+{\frac {2}{a^{s-1}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan(t)-ta\log(z))}{(1+t^{2})^{s/2}(e^{2\pi at}-1)}}\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ae19d36a078bb68987acd5304b8a82c2e09c158)
per a
![{\displaystyle \Re (a)>0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b41e90696c3c6dc1f4239b2bbe6dbef069da16ac)
Representacions semblants incluen
![{\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(t\log z)\sin {\Big (}s\arctan {\tfrac {t}{a}}{\Big )}-\sin(t\log z)\cos {\Big (}s\arctan {\tfrac {t}{a}}{\Big )}}{{\big (}a^{2}+t^{2}{\big )}^{\frac {s}{2}}\tanh \pi t}}\,dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d32b70986ace3c7f5140b9a2857cd1233ee8d99f)
i
![{\displaystyle \Phi (-z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(t\log z)\sin {\Big (}s\arctan {\tfrac {t}{a}}{\Big )}-\sin(t\log z)\cos {\Big (}s\arctan {\tfrac {t}{a}}{\Big )}}{{\big (}a^{2}+t^{2}{\big )}^{\frac {s}{2}}\sinh \pi t}}\,dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2b727569f0eeb4ef4fc0d209b5ef68eb7d456c0)
sostenint per z positiu (i més generalment allà on conflueixen les integrals). A més,
![{\displaystyle \Phi (e^{i\varphi },s,a)=L{\big (}{\tfrac {\varphi }{2\pi }},a,s{\big )}={\frac {1}{a^{s}}}+{\frac {1}{2\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}e^{-at}{\big (}e^{i\varphi }-e^{-t}{\big )}}{\cosh {t}-\cos {\varphi }}}\,dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf614b6f84d55c965bfac41099249c80a2f2f28a)
Aquesta última fórmula també es coneix com a fórmula de Lipschitz.
Casos especials
La funció zeta de Hurwitz és un cas especial, donat per
![{\displaystyle \,\zeta (s,\alpha )=L(0,\alpha ,s)=\Phi (1,s,\alpha ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24d56b4afd15233583335ea491d8bd2e2c40becf)
El polilogaritme és un cas especial de la funció zeta de Lerch, donat per
![{\displaystyle \,{\textrm {Li}}_{s}(z)=z\Phi (z,s,1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b04c927fa0566c318087a2bd685b471fe341f1bc)
La funció khi de Legendre és un cas especial, donat per
![{\displaystyle \,\chi _{n}(z)=2^{-n}z\Phi (z^{2},n,1/2).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2bdf14f45782cb73062adc4d6b615d5906120d2)
La funció zeta de Riemann ve donada per
![{\displaystyle \,\zeta (s)=\Phi (1,s,1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9071fafd3b57ce1da8dcb9bb0fbc83765b25c32b)
La funció eta de Dirichlet ve donada per
![{\displaystyle \,\eta (s)=\Phi (-1,s,1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8be611a926635eae01a09587ffd78a7ff1ef4e1)
Identitats
Per a λ racional, la suma és una arrel de la unitat, i per tant
es pot expressar com una suma finita sobre la funció zeta de Hurwitz. Suposem
amb
i
. Llavors
i
.
![{\displaystyle \Phi (\omega ,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\omega ^{n}}{(n+\alpha )^{s}}}=\sum _{m=0}^{q-1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\omega ^{qn+m}}{(qn+m+\alpha )^{s}}}=\sum _{m=0}^{q-1}\omega ^{m}q^{-s}\zeta (s,{\frac {m+\alpha }{q}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/409fad31cd1163d51808bf2425b3c2c75fce18f5)
Diverses identitats inclouen:
![{\displaystyle \Phi (z,s,a)=z^{n}\Phi (z,s,a+n)+\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {z^{k}}{(k+a)^{s}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f06586a6ca3eda13d223d418f50b09b68ff22b4a)
i
![{\displaystyle \Phi (z,s-1,a)=\left(a+z{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\Phi (z,s,a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f8e616ebacd2f4d44c5455d1df281fc708d4a66)
i
![{\displaystyle \Phi (z,s+1,a)=-\,{\frac {1}{s}}{\frac {\partial }{\partial a}}\Phi (z,s,a).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b13b1a3dd4cb66d9b547acbcaa85be5bbd032f0f)
Representacions en sèries
Una representació en sèries per al transcendent de Lerch ve donada per
![{\displaystyle \Phi (z,s,q)={\frac {1}{1-z}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {-z}{1-z}}\right)^{n}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(q+k)^{-s}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6179453db0c5bd928ca74e88c22f15922eb82596)
(Vegeu que
és un coeficient binomial).
La sèrie és vàlida per a totes s, i per a z complex amb Re(z)<1/2. Vegeu que hi ha una semblança general amb una representació en sèries similar per a la funció zeta de Hurwitz.
Arthur Erdélyi va donar una sèrie de Taylor al primer paràmetre. Es pot escriure com a la sèrie següent, que és vàlida per a:[2]
![{\displaystyle |\log(z)|<2\pi ;s\neq 1,2,3,\dots ;a\neq 0,-1,-2,\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/213a48fe890cfe0b925b06c44bc9acb94c27e12c)
![{\displaystyle \Phi (z,s,a)=z^{-a}\left[\Gamma (1-s)\left(-\log(z)\right)^{s-1}+\sum _{k=0}^{\infty }\zeta (s-k,a){\frac {\log ^{k}(z)}{k!}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae3a9c24d8417a779c07014ddeecc82a705943b2)
Si s és un nombre enter positiu, llavors
![{\displaystyle \Phi (z,n,a)=z^{-a}\left\{\sum _{{k=0} \atop k\neq n-1}^{\infty }\zeta (n-k,a){\frac {\log ^{k}(z)}{k!}}+\left[\psi (n)-\psi (a)-\log(-\log(z))\right]{\frac {\log ^{n-1}(z)}{(n-1)!}}\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f97bb2052f7804ca5b0247792e7a427e3f9cee9)
on
és la funció digamma.
Una sèrie de Taylor amb una tercera variable ve donada per
![{\displaystyle \Phi (z,s,a+x)=\sum _{k=0}^{\infty }\Phi (z,s+k,a)(s)_{k}{\frac {(-x)^{k}}{k!}};|x|<\Re (a),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fa1a106861a6c06179bb54e628487af502f2751)
on
és el símbol de Pochhammer.
La sèrie a = -n ve donada per
![{\displaystyle \Phi (z,s,a)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {z^{k}}{(a+k)^{s}}}+z^{n}\sum _{m=0}^{\infty }(1-m-s)_{m}\operatorname {Li} _{s+m}(z){\frac {(a+n)^{m}}{m!}};\ a\rightarrow -n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f8163de2c0e59d8a438762abdd3a9d12f6455d2)
Un cas especial per a n = 0 té la següent sèrie
![{\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{a^{s}}}+\sum _{m=0}^{\infty }(1-m-s)_{m}\operatorname {Li} _{s+m}(z){\frac {a^{m}}{m!}};|a|<1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2147310d875a79478b1f7e934e33e8ae3b5bdeec)
on
és el polilogaritme.
Una sèrie asimptòtica per a
![{\displaystyle \Phi (z,s,a)=z^{-a}\Gamma (1-s)\sum _{k=-\infty }^{\infty }[2k\pi i-\log(z)]^{s-1}e^{2k\pi ai}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc6012b9bc8d368cab2f4b45595f1a25bf1ae8e6)
per a
, i
![{\displaystyle \Phi (-z,s,a)=z^{-a}\Gamma (1-s)\sum _{k=-\infty }^{\infty }[(2k+1)\pi i-\log(z)]^{s-1}e^{(2k+1)\pi ai}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0712d558ab9e56585b83e5a320cf89dbcba42cb9)
per a
Una sèrie asimptòtica en la funció gamma incompleta
![{\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+{\frac {1}{z^{a}}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {e^{-2\pi i(k-1)a}\Gamma (1-s,a(-2\pi i(k-1)-\log(z)))}{(-2\pi i(k-1)-\log(z))^{1-s}}}+{\frac {e^{2\pi ika}\Gamma (1-s,a(2\pi ik-\log(z)))}{(2\pi ik-\log(z))^{1-s}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3863a1b81db018d20f9a6e13b5f132db69756754)
per a
Expansió asimptòtica
La funció polilogarítmica
es defineix com
![{\displaystyle \mathrm {Li} _{0}(z)={\frac {1}{1-z}},\qquad \mathrm {Li} _{-n}(z)=z{\frac {d}{dz}}\mathrm {Li} _{1-n}(z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e5d9d82efc5c93cede5d328f2611cd7c7449b54)
Sigui
![{\displaystyle \Omega _{a}\equiv {\begin{cases}\mathbb {C} \setminus [1,\infty )&{\text{if }}\Re a>0,\\{z\in \mathbb {C} ,|z|<1}&{\text{if }}\Re a\leq 0.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3362a15ac34977e55b835a47095182cbc731d984)
Per a
i
, una expansió asimptòtica de
per a grans
i
fixes i
és donada per
![{\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{1-z}}{\frac {1}{a^{s}}}+\sum _{n=1}^{N-1}{\frac {(-1)^{n}\mathrm {Li} _{-n}(z)}{n!}}{\frac {(s)_{n}}{a^{n+s}}}+O(a^{-N-s})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/999318216d38dcba7fb2b35d0ac84dc18fe090ac)
per a
.[3]
Sigui
![{\displaystyle f(z,x,a)\equiv {\frac {1-(ze^{-x})^{1-a}}{1-ze^{-x}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/170efd4d8908d83023607cfebda04acde15e9563)
Fem que
siguin els seus coeficients de Taylor a
. Aleshores, per a solucions
i
,
![{\displaystyle \Phi (z,s,a)-{\frac {\mathrm {Li} _{s}(z)}{z^{a}}}=\sum _{n=0}^{N-1}C_{n}(z,a){\frac {(s)_{n}}{a^{n+s}}}+O\left((\Re a)^{1-N-s}+az^{-\Re a}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bff4a397ad54933f64aa7fa5ce7f7f2c55e36d50)
com
.[4]
Programari
El transcendent de Lerch està implementat a LerchPhi in Maple.
Referències
- ↑ «Matyáš Lerch» (en anglès). Math Story.
- ↑ Johnson, B. R. «Generalized Lerch zeta-function» (en anglès). Pacific J. Math., 53(1), 1974, pàg. 189–193. DOI: 10.2140/pjm.1974.53.189.
- ↑ Ferreira, Chelo; López, José L. «Asymptotic expansions of the Hurwitz–Lerch zeta function» (en anglès). Journal of Mathematical Analysis and Applications, 298(1), Octubre 2004, pàg. 210–224. DOI: 10.1016/j.jmaa.2004.05.040.
- ↑ Cai, Xing Shi; López, José L. «A note on the asymptotic expansion of the Lerch's transcendent» (en anglès). Integral Transforms and Special Functions, 10-06-2019, pàg. 1–12. arXiv: 1806.01122. DOI: 10.1080/10652469.2019.1627530.
Bibliografia
- Apostol, T. M. Lerch's Transcendent (en anglès). Cambridge University Press: NIST Handbook of Mathematical Functions, 2010. ISBN 978-0-521-19225-5.
- Bateman, H.; Erdélyi, A. Higher Transcendental Functions (
PDF) (en anglès). I. New York: McGraw-Hill, 1953. «Vegeu § 1.11, "The function Ψ(z,s,v)", p. 27» Arxivat 2011-08-11 a Wayback Machine. - Gradshteyn, Izrail Solomonovich; Ryzhik, Iosif Moiseevich; Geronimus, Yuri Veniaminovich; Tseytlin, Michail Yulyevich; Jeffrey, Alan. «9.55». A: Table of Integrals, Series, and Products (en anglès). Academic Press, 2015. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN 2014010276.
- Guillera, Jesus; Sondow, Jonathan «Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent» (en anglès). The Ramanujan Journal, 16(3), 2008, pàg. 247–270. arXiv: math.NT/0506319. DOI: 10.1007/s11139-007-9102-0.
- Jackson, M. «On Lerch's transcendent and the basic bilateral hypergeometric series ₂ψ₂» (en anglès). J. London Math. Soc., 25(3), 1950, pàg. 189–196. DOI: 10.1112/jlms/s1-25.3.189.
- Johansson, F.; Blagouchine, Ia. «Computing Stieltjes constants using complex integration» (en anglès). Mathematics of Computation, 88(318), 2019, pàg. 1829-1850. arXiv: 1804.01679. DOI: 10.1090/mcom/3401.
- Laurinčikas, Antanas; Garunkštis, Ramūnas. The Lerch zeta-function (en anglès). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2002. ISBN 978-1-4020-1014-9.
- Lerch, Matyáš «Note sur la fonction
» (
PDF) (en francès). Acta Mathematica, 11(1–4), 1887, pàg. 19–24. DOI: 10.1007/BF02612318..
Enllaços externs
- Aksenov, Sergej V.; Jentschura, Ulrich D. «C and Mathematica Programs for Calculation of Lerch's Transcendent» (en anglès), 2002.
- Garunkstis, Ramunas. «Provides numerous references and preprints» (en anglès), 2005.
- Garunkstis, Ramunas. «Approximation of the Lerch Zeta Function» (
PDF) (en anglès). - Weisstein, Eric W., «Lerch Transcendent» a MathWorld (en anglès).
- «§25.14, Lerch's Transcendent» (en anglès). NIST Digital Library of Mathematical Functions. National Institute of Standards and Technology, 2010.