Funció zeta de Dedekind

No s'ha de confondre amb Funció eta de Dedekind.

En matemàtica, la funció zeta de Dedekind és una sèrie de Dirichlet definida per a tot cos K de nombres algebraics, expressada com ζ K ( s ) {\displaystyle \zeta _{K}(s)} on s {\displaystyle s} és una variable complexa. És la suma infinita:

∑ ( N I ) − s {\displaystyle \sum (NI)^{-s}}

realitzada en tots els I ideals de l'anell dels enters O K {\displaystyle O_{K}} de K , amb I ≠ { 0 } {\displaystyle I\neq \{0\}} . On N I {\displaystyle NI} és la norma de I (al camp racional Q ): és igual a la cardinalitat de O K / I , en altres paraules, el nombre de classes de residu mòdul I {\displaystyle I} . En el cas en què K = Q aquesta definició es redueix a la funció zeta de Riemann.

Propietats

Les propietats de ζ K ( s ) {\displaystyle \zeta _{K}(s)} com una funció meromòrfica resulten d'un considerable significat en la teoria de nombres algebraics. Té un producte d'Euler, amb un factor per a un donat nombre primer p {\displaystyle p} al producte sobre tots els ideals primers P {\displaystyle P} de O K {\displaystyle O_{K}} dividint p {\displaystyle p} de

( 1 − ( N P ) − s ) − 1 {\displaystyle \left(1-(NP)^{-s}\right)^{-1}}

Aquesta és l'expressió en termes analítics de la unicitat de la factorització en primers dels ideals I {\displaystyle I} .

Se sap (demostrat en forma general primer per Erich Hecke) que ζ K ( s ) {\displaystyle \zeta _{K}(s)} té una continuació analítica cap a tot el pla complex com una funció meromorfa, tenint un pol simple només en s = 1. El residu en aquest pol és una quantitat important, que involucra invariants del grup unitari i del grup de classe de K , els detalls es troben a la fórmula de nombre de classe. Hi ha una equació funcional per a la funció zeta de Dedekind, que relaciona els seus valors en s i 1 - s .

Per al cas en què K és una extensió abeliana de Q , la seva funció zeta de Dedekind pot ser escrita com un producte de funcions L de Dirichlet. Per exemple, quan K és un cos quadràtic això mostra que la relació

ζ K ( s ) ζ Q ( s ) {\displaystyle {\frac {\zeta _{K}(s)}{\zeta _{\mathbb {Q} }(s)}}}

és una funció L , L ( s , χ); on χ {\displaystyle \chi } és un símbol de Jacobi com caràcter de Dirichlet. Que la funció zeta d'un cos quadràtic sigui un producte de la funció zeta de Riemann i una certa funció L de Dirichlet és una formulació analítica de la llei de Gauss de reciprocitat quadràtica.

En general si K és una extensió de Galois de Q amb grup de Galois G , la seva funció zeta de Dedekind té una factorització comparable en termes de funcions L de Artin. Aquestes estan associades a representacions lineals de G .

Referències

  • Bosma, Wieb; de Smit, Bart. «On arithmetically equivalent number fields of small degree». A: Algorithmic number theory (Sydney, 2002). 2369. Berlin, New York: Springer-Verlag, 2002, p. 67–79. DOI 10.1007/3-540-45455-1_6. ISBN 978-3-540-43863-2. 
  • Section 10.5.1 of Cohen, Henri. Number theory, Volume II: Analytic and modern tools. 240. Nova York: Springer, 2007. DOI 10.1007/978-0-387-49894-2. ISBN 978-0-387-49893-5. 
  • Deninger, Christopher. Motives, Part 1. 55.1. American Mathematical Society, 1994, p. 517–525. ISBN 978-0-8218-1635-6. «L-functions of mixed motives» 
  • Flach, Mathias. Stark's conjectures: recent work and new directions. 358. American Mathematical Society, p. 79–125. ISBN 978-0-8218-3480-0. «The equivariant Tamagawa number conjecture: a survey» 
  • Martinet, J. «Character theory and Artin L-functions». A: Algebraic Number Fields, Proc. Symp. London Math. Soc., Univ. Durham 1975. Academic Press, 1977, p. 1-87. ISBN 0-12-268960-7. 
  • Narkiewicz, Władysław. Elementary and analytic theory of algebraic numbers. 3. Berlin: Springer-Verlag, 2004. ISBN 978-3-540-21902-6. 

Vegeu també

Enllaços externs

  • Dedekind zeta function a PlanetMath
  • Factorization of the Dedekind zeta function of an Abelian number field a PlanetMath