Funció ksi de Riemann

En matemàtiques, la funció ksi de Riemann és una variant de la funció zeta de Riemann, i té la particularitat de tenir una equació funcional simple. La funció duu el nom del matemàtic alemany Bernhard Riemann.

Definició

La funció ksi minúscula de Riemann original ${\displaystyle \xi }$ va ser reanomenada com a majúscula ${\displaystyle ~\Xi ~}$ (la Lletra grega "Ksi") per Edmund Landau. La ksi mínuscula de Landau ${\displaystyle ~\xi ~}$ ("xi" en anglès) va ser definida per Landau com:^[1]

${\displaystyle \xi (s)={\tfrac {1}{2}}s(s-1)\pi ^{-s/2}\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}s\right)\zeta (s)}$

per ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$. Aquí, ${\displaystyle \zeta (s)}$ denotea la funció zeta de Riemann i ${\displaystyle \Gamma (s)}$ és la funció Gamma. L'equació funcional (o fórmula de reflexió) de la ${\displaystyle ~\xi ~}$ de Landau és:

${\displaystyle \xi (1-s)=\xi (s)~.}$

La funció original de Riemann és redefinida per Landau com a ${\displaystyle ~\Xi ~}$ majúscula:^[1]:§71

${\displaystyle \Xi (z)=\xi \left({\tfrac {1}{2}}+zi\right)}$

i obeeix l'equació funcional:

${\displaystyle \Xi (-z)=\Xi (z)~.}$

Landau afirma^[1]:894 que la funció ${\displaystyle ~\Xi ~}$ de més amunt és la funció de Riemann originalment anotada com ${\displaystyle ~\xi ~}$. Totes dues funcions són enteres i purament reals per tot argument.

Valors

La fórmula general per a enters positius parells és:

${\displaystyle \xi (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {n!}{(2n)!}}B_{2n}2^{2n-1}\pi ^{n}(2n-1)}$

on B_n denota l'n-èssim nombre de Bernoulli. Per exemple:

${\displaystyle \xi (2)={\frac {\pi }{6}}}$

Representació en forma de sèrie

La funció ${\displaystyle \xi }$ té l'expansió en sèrie:

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\ln \xi \left({\frac {-z}{1-z}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda _{n+1}z^{n},}$

on

${\displaystyle \lambda _{n}={\frac {1}{(n-1)!}}\left.{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}\left[s^{n-1}\log \xi (s)\right]\right|_{s=1}=\sum _{\rho }\left[1-\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)^{n}\right],}$

i on la suma s'estén al llarg de ρ, els zeros no trivials de la funció zeta, en ordre de ${\displaystyle |\Im (\rho )|}$.

Aquesta expansió té un paper especialment important en el criteri de Li, que afirma que la hipòtesi de Riemann és equivalent a tenir λ_n > 0 per tot n positiu.

Producte de Hadamard

Una expansió simple de la funció ksi de Riemann com a producte infinit és:

${\displaystyle \xi (s)={\frac {1}{2}}\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right),\!}$

on ρ s'esté al llarg de les arrels de ξ.

Per assegurar convergència en l'expansió, el producte ha de ser fet al llarg d'"emparellaments" dels zeros, és a dir, els factor d'una parella de zeros de la forma ρ i 1−ρ s'han d'agrupar conjuntament.

Hipótesi de Riemann

Com s'ha assenyalat en diversos treballs d'Alain Connes entre d'altres, la hipòtesi de Riemann és equivalent a l'afirmació que la funció xi de Riemann és el determinant funcional de l'operador:

${\displaystyle -D^{2}+f(x)\,}$

amb:

${\displaystyle f^{-1}(x)={\sqrt {(}}4\pi ){\frac {d^{1/2}N(x)}{dx^{1/2}}}}$ així,

${\displaystyle {\frac {\xi (1/2+iz)}{\xi (1/2)}}={\frac {\det(H-z^{2})}{\det(H)}}}$,

la conjectura del qual està recolzada mitjançant diverses avaluacions numèriques.

Referències

Bibliografia

• Weisstein, Eric W., «Xi-Function» a MathWorld (en anglès).
• Keiper, J.B. «Power series expansions of Riemann's xi function». Mathematics of Computation, 58, 198, 1992, pàg. 765–773. Bibcode: 1992MaCom..58..765K. DOI: 10.1090/S0025-5718-1992-1122072-5.