Funció identitat

En matemàtiques, una funció identitat, anomenada també aplicació identitat o transformació identitat, és una funció que sempre retorna el mateix valor que s'ha fet servir com a argument. En altres paraules, la funció identitat és la funció f(x) = x.

Definició

Formalment, si M és un conjunt, la funció identitat f de M es defineix com aquella funció amb domini i codomini M que satisfà

f(x) = x    per a tots els elements x de M.

La funció identitat f de M sovint es denota per id_M o 1_M.

Propietat algebraica

Si f : M → N és qualsevol funció, llavors es té f ∘ id_M = f = id_N ∘ f (on "∘" denota la composició de funcions). En particular, id_M és l'element identitat dels monoides de totes les funcions de M en M.

Com que l'element identitat d'un monoide és únic, es pot definir de forma alternativa la funció identitat de M com la que és aquest element identitat. Aquesta definició generalitza el concepte d'un morfisme identitat en teoria de categories, on els endomorfismes de M no cal que siguin funcions.

Exemples

• La funció identitat és un operador lineal, quan s'aplica a espais vectorials.
• La funció identitat en el conjunt dels nombres enters positius és una funció totalment multiplicativa (essencialment multiplicació per 1), estudiada en teoria de nombres.
• En un espai vectorial de dimensió n la funció identitat es representa per la matriu identitat I_n, independentment de la base.
• En un espai mètric la identitat és de forma trivial una isometria. Un objecte sense cap simetria té com a grup simètric el grup trivial que només conté aquesta isometria (simetria tipus C₁).