Funció de probabilitat

Per a altres significats, vegeu «mesura de probabilitat».

En teoria de la probabilitat, la funció de probabilitat (també anomenada funció de massa de probabilitat o funció de repartiment de massa) d'una variable aleatòria discreta és la funció que associa a cada valor possible de la variable la probabilitat que aquesta ho assumeixi.


Definició

Considerem un espai de probabilitat ( Ω , A , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)} Sigui X {\displaystyle X} una variable aleatòria discreta que prengui els valors D = { x i , i ∈ I } {\displaystyle D=\{x_{i},\,i\in I\}} , on I ⊂ N {\displaystyle I\subset {\mathbb {N} }} . La funció de probabilitat[1] de X {\displaystyle X} és la funció p : D ⟶ [ 0 , 1 ] {\textstyle p:D\longrightarrow [0,1]} definida per

p ( x i ) = P ( X = x i ) . {\displaystyle p(x_{i})=P(X=x_{i}).}
Tenim que

∑ i ∈ I p ( x i ) = 1. {\displaystyle \sum _{i\in I}p(x_{i})=1.}

Aquesta funció determina totes les probabilitats relacionades amb X {\displaystyle X} :

P ( X ∈ B ) = ∑ i : x i ∈ B p ( x i ) . {\displaystyle P(X\in B)=\sum _{i:\,x_{i}\in B}p(x_{i}).}



Observació. Alguns autors [2] defineixen la funció de probabilitat sobre tot el conjunt dels nombres real p : R ⟶ [ 0 , 1 ] {\textstyle p:\mathbb {R} \longrightarrow [0,1]} per

p ( x ) = P ( X = x ) . {\displaystyle p(x)=P(X=x).}
És clar que p ( x ) = 0 {\displaystyle p(x)=0} a menys que x ∈ I {\displaystyle x\in I} . Això no genera cap problema ni confusió.

Cal advertir que el concepte de funció de probabilitat només té sentit per a variables aleatòries discretes, és a dir, que prenen un nombre finit o numerable de valors. Per a variables aleatòries contínues el concepte anàleg és el de funció de densitat.

Vegeu també


Referències

  1. ↑ Sanz, Marta. Probabilitats. Barcelona: Edicions Universitat de Barcelona, 1999, p. 50. ISBN 84-8338-091-9. 
  2. ↑ DeGroot, Morris H. Probabilidad y estadística. 2a. ed. Wilmington, Delawere, E.U.A.: Addison-Wesley Iberoamericaca, 1988, p. 94. ISBN 0-201-64405-3.