Funció beta de Dirichlet

En matemàtiques, la funció beta de Dirichlet (també coneguda com a funció beta de Catalan) és una funció especial, íntimament relacionada amb la funció zeta de Riemann. En particular, és una sèrie L de Dirichlet, concretament la funció L per al caràcter alternat de període quatre. Rep aquest nom en honor del matemàtic alemany Johann Dirichlet.

Definició

La funció beta de Dirichlet ve definida per:

${\displaystyle \beta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}},}$

o, equivalentment:

${\displaystyle \beta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}e^{-x}}{1+e^{-2x}}}\,dx.}$

En ambdós casos, les fórmules només són vàlides per Re(s)>0.

Altrament, la següent definció, en termes de la funció zeta de Hurwitz, és vàlida per a tot el pla complex:

${\displaystyle \beta (s)=4^{-s}\left(\zeta \left(s,{1 \over 4}\right)-\zeta \left(s,{3 \over 4}\right)\right).}$

Una altra definició equivalent, en termes de la funció zeta de Lerch i vàlida també en tot el pla complex, és:

${\displaystyle \beta (s)=2^{-s}\Phi \left(-1,s,{{1} \over {2}}\right),}$

Equació funcional

L'equació funcional prolonga analíticament la funció beta a la part del pla complex Re(s)<0 ve donada per:

${\displaystyle \beta (s)=\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{s-1}\Gamma (1-s)\cos {\frac {\pi s}{2}}\,\beta (1-s)}$

on ${\displaystyle \Gamma (s)}$ és la funció gamma.

Valors especials

Alguns valors particulars de la funció beta són els següents:

${\displaystyle \beta (0)={\frac {1}{2}},}$

${\displaystyle \beta (1)\;=\;\arctan(1)\;=\;{\frac {\pi }{4}},}$

${\displaystyle \beta (2)\;=\;G,}$

on ${\displaystyle G}$ representa la constant de Catalan

${\displaystyle \beta (3)\;=\;{\frac {\pi ^{3}}{32}},}$

${\displaystyle \beta (4)\;=\;{\frac {1}{768}}(\psi _{3}({\frac {1}{4}})-8\pi ^{4}),}$

on ${\displaystyle \psi _{3}(1/4)}$ és un exemple de funció poligamma.

${\displaystyle \beta (5)\;=\;{\frac {5\pi ^{5}}{1536}},}$

${\displaystyle \beta (7)\;=\;{\frac {61\pi ^{7}}{184320}},}$

En general, per nombre natural ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \beta (2k+1)={{({-1})^{k}}{E_{2k}}{\pi ^{2k+1}} \over {4^{k+1}}(2k!)},}$

on ${\displaystyle E_{n}}$ representa els nombres d'Euler. Per a ${\displaystyle k}$≥0, és té que:

${\displaystyle \beta (-k)={{E_{k}} \over {2}}.}$

Atès que ${\displaystyle E_{2k+1}=0}$, la funció s'anul·la per tot valor enter negatiu senar.

${\displaystyle s}$	Valor aproximat de ${\displaystyle \beta (s)}$	OEIS
1/5	0.5737108471859466493572665
1/4	0.5907230564424947318659591
1/3	0.6178550888488520660725389
1/2	0.6676914571896091766586909	(successió A195103 a l'OEIS)
1	0.7853981633974483096156608	(successió A003881 a l'OEIS)
2	0.9159655941772190150546035	(successió A006752 a l'OEIS)
3	0.9689461462593693804836348	(successió A153071 a l'OEIS)
4	0.9889445517411053361084226	(successió A175572 a l'OEIS)
5	0.9961578280770880640063194	(successió A175571 a l'OEIS)
6	0.9986852222184381354416008	(successió A175570 a l'OEIS)
7	0.9995545078905399094963465
8	0.9998499902468296563380671
9	0.9999496841872200898213589
10	0.9999831640261968774055407

Referències

• Glasser, M. L. «The evaluation of lattice sums. I. Analytic procedures». J. Math. Phys., vol. 14, 1972, pàg. 409. DOI: 10.1063/1.1666331.
• J. Spanier and K. B. Oldham, An Atlas of Functions, (1987) Hemisphere, New York.
• Weisstein, Eric W., «Dirichlet Beta Function» a MathWorld (en anglès).