Funció K

Aquest article tracta sobre la funció K. Si cerqueu funció-k, vegeu «Funció de Bateman».

En matemàtiques, la funció K, normalment escrit K(z), és una funció especial que constitueix una extensió a un domini complex de la seqüència de nombres enters hiperfactorials H(n) de Neil Sloane i Simon Plouffe,[Nota 1] així com la funció gamma és una extensió complexa de la successió dels factorials.

Definició

Formalment, la funció K es defineix com

K ( z ) = ( 2 π ) ( − z + 1 ) / 2 exp ⁡ [ ( z 2 ) + ∫ 0 z − 1 ln ⁡ ( Γ ( t + 1 ) ) d t ] . {\displaystyle K(z)=(2\pi )^{(-z+1)/2}\exp \left[{\begin{pmatrix}z\\2\end{pmatrix}}+\int _{0}^{z-1}\ln(\Gamma (t+1))\,dt\right].}

També es pot donar en forma tancada com

K ( z ) = exp ⁡ [ ζ ′ ( − 1 , z ) − ζ ′ ( − 1 ) ] {\displaystyle K(z)=\exp \left[\zeta ^{\prime }(-1,z)-\zeta ^{\prime }(-1)\right]}

on ζ'(z) denota la derivada de la funció zeta de Riemann, i ζ(a,z) denota la funció zeta de Hurwitz, i

ζ ′ ( a , z )   = d e f   [ ∂ ζ ( s , z ) ∂ s ] s = a . {\displaystyle \zeta ^{\prime }(a,z)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left[{\frac {\partial \zeta (s,z)}{\partial s}}\right]_{s=a}.}

Una altra funció, usant la funció poligamma, és [2]

K ( z ) = exp ⁡ ( ψ ( − 2 ) ( z ) + z 2 − z 2 − z 2 ln ⁡ ( 2 π ) ) {\displaystyle K(z)=\exp \left(\psi ^{(-2)}(z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}-{\frac {z}{2}}\ln(2\pi )\right)}

O usant la generalització equilibrada de la funció poligamma:[3]

K ( z ) = A e ψ ( − 2 , z ) + z 2 − z 2 {\displaystyle K(z)=Ae^{\psi (-2,z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}}}
on A és la constant de Glaisher-Kinkelin.

Més prosaicament, es pot escriure

K ( n + 1 ) = 1 1 2 2 3 3 ⋯ n n . {\displaystyle K(n+1)=1^{1}\,2^{2}\,3^{3}\cdots n^{n}.}

o

K ( n ) = 1 1 2 2 3 3 ⋯ ( n − 1 ) n − 1 . {\displaystyle K(n)=1^{1}\,2^{2}\,3^{3}\cdots (n-1)^{n-1}.}

El 2003, Benoit Cloitre va demostrar que

1 K ( n ) = ( − 1 ) n det | − 1 − 1 − 1 ⋯ − 1 1 2 1 4 1 8 ⋯ 1 2 n − 1 3 − 1 9 − 1 27 ⋯ − 1 3 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ( − 1 ) n n ( − 1 ) n n 2 ( − 1 ) n n 3 ⋯ ( − 1 ) n n n | {\displaystyle {\frac {1}{K(n)}}=(-1)^{n}{\mbox{det}}{\begin{vmatrix}-1&-1&-1&\cdots &-1\\{1 \over 2}&{1 \over 4}&{1 \over 8}&\cdots &{1 \over 2^{n}}\\-{1 \over 3}&-{1 \over 9}&-{1 \over 27}&\cdots &-{1 \over 3^{n}}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{(-1)^{n} \over n}&{(-1)^{n} \over n^{2}}&{(-1)^{n} \over n^{3}}&\cdots &{(-1)^{n} \over n^{n}}\\\end{vmatrix}}}

Relació amb la funció G-Barnes

La funció K està estretament relacionada amb la funció gamma i amb la funció G-Barnes; per als nombres naturals n, tenim

K ( n ) = ( Γ ( n ) ) n − 1 G ( n ) . {\displaystyle K(n)={\frac {(\Gamma (n))^{n-1}}{G(n)}}.}

També tenim

K ( z ) ⋅ G ( z ) = exp ⁡ { ( z − 1 ) ⋅ log ⁡ [ Γ ( z ) ] } , {\displaystyle K(z)\cdot G(z)=\exp \left\{(z-1)\cdot \log[\Gamma (z)]\right\},} [1]

per a tot z ∈ C . {\displaystyle z\in \mathbb {C} .}

Valors particulars

Els primers valors de la funció són:[4]

K(0) = 1

K(1) = 1

K(2) = 4

K(3) = 108

K(4) = 27.648

K(5) = 86.400.000

K(6) = 4.031.078.400.000

K(7) = 3.319.766.398.771.200.000

K(8) = 55.696.437.941.726.556.979.200.000

K(9) = 21.577.941.222.941.856.209.168.026.828.800.000

K(10) = 215.779.412.229.418.562.091.680.268.288.000.000.000.000.000

El valor de K ( 1 2 ) {\displaystyle K({\tfrac {1}{2}})} ve donat per

K ( 1 2 ) = A 3 / 2 2 1 / 24 ⋅ e 1 / 8 {\displaystyle K({\tfrac {1}{2}})={\frac {A^{3/2}}{2^{1/24}\cdot e^{1/8}}}}

on A {\displaystyle A} representa la constant de Glaisher-Kinkelin.[1]

Notes

  1. ↑ Per a la funció K, s'aplica
    K ( n + 1 ) = H ( n ) , n ∈ N , {\displaystyle K(n+1)=H(n),\qquad n\in \mathbb {N} ,}
    on H(n) es l'hiperfactorial d'un nombre natural n {\displaystyle n} , que es defineix com
    H ( n ) = ∏ i = 1 n i i = 1 1 2 2 3 3 4 4 ⋯ n n , n ∈ N . {\displaystyle H(n)=\prod _{i=1}^{n}i^{i}=1^{1}2^{2}3^{3}4^{4}\cdots n^{n},\qquad n\in \mathbb {N} .} [1]

Referències

  1. ↑ 1,0 1,1 1,2 Eric Weisstein: Hyperfactorial
  2. ↑ Victor S. Adamchik. PolyGamma Functions of Negative Order
  3. ↑ Olivier Espinosa Victor H. Moll. A Generalized polygamma function. Integral Transforms and Special Functions Vol. 15, No. 2, April 2004, pp. 101–115
  4. ↑ Seqüència A002109 OEIS

Enllaços externs

  • Weisstein, Eric W., «K-Function» a MathWorld (en anglès).