Dodecàedre truncat

Dodecàedre truncat

Model 3D
Tipus	Políedre arquimedià
Forma de les cares	Triangles i decàgons
Símbol de Schläfli	t{5,3}
Cares per vèrtex	3
Vèrtexs per cara	3 i 10
Simetria	Ih
Dual	Icosàedre triakis
Propietats	Semi-regular i convex
Elements
Cares	32 (20 triangles i 12 decàgons)
Arestes	90
Vèrtexs	60
Característica	2
Més informació
MathWorld	TruncatedDodecahedron

En geometria, el dodecàedre truncat és un dels tretze políedres arquimedians, s'obté truncant els vint vèrtex de l'dodecàedre.

Té 32 cares, 12 de les quals són decagonals i 20 triangulars, 90 arestes i a cadascun dels seus 60 vèrtex i concorren dues cares decagonals i una triangular.

Àrea i volum

Les fórmules per calcular l'àrea A i el volum V d'un dodecàedre truncat tal que les seves arestes tenen longitud a són les següents:

${\displaystyle A=(5{\sqrt {3}}+30{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}})a^{2}}$

${\displaystyle V={\begin{matrix}{5 \over 12}\end{matrix}}(99+47{\sqrt {5}})a^{3}}$

Esferes circumscrita, inscrita i tangent a les arestes

Els radis R, r i ${\displaystyle \rho }$ de les esferes circumscrita, inscrita i tangent a les arestes respectivament són:

${\displaystyle {\begin{aligned}&R={\frac {a{\sqrt {74+30{\sqrt {5}}}}}{4}}\\&r={\frac {5a\left(17{\sqrt {2}}+3{\sqrt {10}}\right){\sqrt {37+15{\sqrt {5}}}}}{488}}\\&\rho ={\frac {a\left(5+3{\sqrt {5}}\right)}{4}}\\\end{aligned}}}$

On a és la longitud de les arestes.

Dualitat

El políedre dual del dodecàedre truncat és l'icosàedre triakis.

Desenvolupament pla

Simetries

El grup de simetria del dodecàedre truncat té 120 elements; el grup de les simetries que preserven les orientacions és el grup icosàedric ${\displaystyle I\cong A_{5}}$. Són els mateixos grups de simetria que per l'icosàedre i pel dodecàedre.

Políedres relacionats

La següent successió de políedres il·lustra una transició des del dodecàedre a l'icosàedre passant pel dodecàedre truncat:

dodecàedre

dodecàedre truncat

icosidodecàedre

icosàedre truncat

icosàedre

Vegeu també

• Políedre arquimedià
• Políedre de Catalan
• Políedre regular
• Sòlid platònic
• Sòlid de Johnson

Bibliografia

• H. M. Cundy & A. P. Rollett. I modelli matematici. Milà: Feltrinelli, 1974. 
• Dedò, Maria. Forme, simmetria e topologia. Bolonya: Decibel & Zanichelli, 1999. ISBN 88-08-09615-7. 

Enllaços externs

• Paper models of Archimedean solids