Desigualtat entre les mitjanes aritmètica i geomètrica

Aquest article podria incomplir els criteris generals d'admissibilitat.
Milloreu-lo amb referències que demostrin que es tracta d'un tema admissible o bé podria entrar en un procés d'esborrament o fusió. (2023)

En matemàtiques, es coneix com a desigualtat entre les mitjanes aritmètica i geomètrica aquella desigualtat que estableix que la mitjana aritmètica d'un conjunt de nombres reals positius és major o igual que la mitjana geomètrica del mateix conjunt.

Mitjana aritmètica i mitjana geomètrica

La mitjana aritmètica d'un conjunt x 1 , x , ⋯ , n ∈ R + {\displaystyle {x_{1},x_{,}\cdots ,n}\in \mathbb {R} ^{+}} , és igual a la suma dividida pel nombre total d'elements,

x 1 + x 2 ⋯ + x n n {\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n}}{n}}}

La mitjana geomètrica d'un conjunt x 1 , x , ⋯ , n ∈ R + {\displaystyle {x_{1},x_{,}\cdots ,n}\in \mathbb {R} ^{+}} , és igual a l'arrel n-éssima del producte de tots ells.

x 1 x 2 ⋯ x n n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}}

La desigualtat

Siga

x 1 , x , ⋯ , n ∈ R + {\displaystyle {x_{1},x_{,}\cdots ,n}\in \mathbb {R} ^{+}} ,

x 1 + x 2 ⋯ + x n n ≥ x 1 x 2 ⋯ x n n {\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}}

Es compleix la igualtat si i només si

x 1 = x 2 = ⋯ = x n {\displaystyle {x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}}}

x 1 + x 2 ⋯ + x n n = x 1 x 2 ⋯ x n n {\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n}}{n}}={\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}}

O sigui, només són iguals la mitjana aritmètica i la mitjana geomètrica d'un conjunt de nombres positius si tots els nombres són iguals.

Demostració per inducció

Aquest article o secció necessita l'atenció d'un expert en la matèria.
Si us plau, ajudeu a trobar-ne un o milloreu aquesta pàgina vosaltres mateixos si podeu. (Vegeu la discussió).

Per a demostrar la desigualtat MA-MG, es desenvolupara pel mètode d'inducció matemàtica, demostrant que la MA-MG és certa per a 2 elements, després generalitzant-lo per a 2n elements i demostrant que si certa per a n és certa per a n+1 elements.

Siga x 1 , x , ⋯ , n ∈ R + {\displaystyle {x_{1},x_{,}\cdots ,n}\in \mathbb {R} ^{+}} , un conjunt de n elements,

Procedim a considerar el primer cas en què n=2

x 1 + x 2 2 ≥ x 1 x 2 2 {\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\geq {\sqrt[{2}]{x_{1}x_{2}}}}

( x 1 + x 2 ) 2 4 ≥ x 1 x 2 {\displaystyle {\frac {(x_{1}+x_{2})^{2}}{4}}\geq x_{1}x_{2}}

( x 1 + x 2 ) 2 ≥ 4 x 1 x 2 {\displaystyle (x_{1}+x_{2})^{2}\geq 4x_{1}x_{2}}

x 1 2 + 2 x 1 x 2 + x 2 2 ≥ 4 x 1 x 2 {\displaystyle x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}\geq 4x_{1}x_{2}}

x 1 2 − 2 x 1 x 2 + x 2 2 ≥ 0 {\displaystyle x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}\geq 0}

( x 1 − x 2 ) 2 ≥ 0 {\displaystyle (x_{1}-x_{2})^{2}\geq 0}

Quedant així demostrat per a n=2, després es demostra que si és certa per a n=2 és certa per a 2n elements.

x 1 + x 2 ⋯ + x 2 n 2 n ≥ x 1 x 2 ⋯ x 2 n 2 n {\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}\cdots +x_{2n}}{2n}}\geq {\sqrt[{2n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2n}}}}

( x 1 + x 2 + ⋯ + x n + 1 ) n + ( x n + 1 + x n + 2 + ⋯ + x 2 n ) n 2 ≥ ( x 1 + x 2 + ⋯ + x n + 1 ) n ( x n + 1 + x n + 2 + ⋯ + x 2 n ) n 2 {\displaystyle {\frac {{\frac {(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n+1})}{n}}+{\frac {(x_{n+1}+x_{n+2}+\cdots +x_{2n})}{n}}}{2}}\geq {\sqrt[{2}]{{\frac {(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n+1})}{n}}{\frac {(x_{n+1}+x_{n+2}+\cdots +x_{2n})}{n}}}}}

Seguint la hipòtesi,

x 1 + x 2 ⋯ + x n n ≥ x 1 x 2 ⋯ x n n {\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}}

Se seguix que,

( x 1 + x 2 + ⋯ + x n + 1 ) n + ( x n + 1 + x n + 2 + ⋯ + x 2 n ) n 2 ≥ ( x 1 x 2 ⋯ x n + 1 ) n ( x n + 1 x n + 2 ⋯ x 2 n ) n 2 {\displaystyle {\frac {{\frac {(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n+1})}{n}}+{\frac {(x_{n+1}+x_{n+2}+\cdots +x_{2n})}{n}}}{2}}\geq {\sqrt[{2}]{{\sqrt[{n}]{(x_{1}x_{2}\cdots x_{n+1})}}{\sqrt[{n}]{(x_{n+1}x_{n+2}\cdots x_{2n})}}}}}

Sent açò igual a,

x 1 + x 2 ⋯ + x 2 n 2 n ≥ x 1 x 2 ⋯ x 2 n 2 n {\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}\cdots +x_{2n}}{2n}}\geq {\sqrt[{2n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2n}}}}

Quedant així demostrat que si és cert per a 2 elements és cert per a 2n elements.

Ara procedim a demostrar que si és certa per a n elements és certa per a n-1 elements,

Sea x 1 , x , ⋯ , n − 1 ∈ R + {\displaystyle {x_{1},x_{,}\cdots ,{n-1}}\in \mathbb {R} ^{+}} y x 1 + x 2 ⋯ + x n − 1 n − 1 {\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n-1}}{n-1}}}

Es considera la desigualtat de tots els elements esmentats,

x 1 + x 2 + ⋯ x n − 1 + x 1 + x 2 ⋯ + x n − 1 n − 1 n ≥ x 1 x 2 ⋯ x n − 1 x 1 + x 2 ⋯ + x n − 1 n − 1 n {\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots x_{n-1}+{\frac {x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n-1}}{n-1}}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}{\frac {x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n-1}}{n-1}}}}}

( n − 1 ) x 1 + ( n − 1 ) x 2 + ⋯ + ( n − 1 ) x n − 1 + x 1 + x 2 ⋯ + x n − 1 ( n − 1 ) n ≥ x 1 x 2 ⋯ x n − 1 n x 1 + x 2 ⋯ + x n − 1 n − 1 n {\displaystyle {\frac {(n-1)x_{1}+(n-1)x_{2}+\cdots +(n-1)x_{n-1}+x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n-1}}{(n-1)n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}}}{\sqrt[{n}]{\frac {x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n-1}}{n-1}}}}

n x 1 + n x 2 + ⋯ + n x n − 1 ( n − 1 ) n ≥ x 1 x 2 ⋯ x n − 1 n x 1 + x 2 ⋯ + x n − 1 n − 1 n {\displaystyle {\frac {nx_{1}+nx_{2}+\cdots +nx_{n-1}}{(n-1)n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}}}{\sqrt[{n}]{\frac {x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n-1}}{n-1}}}}

x 1 + x 2 + ⋯ + x n − 1 n − 1 ≥ x 1 x 2 ⋯ x n − 1 n x 1 + x 2 ⋯ + x n − 1 n − 1 n {\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1}}{n-1}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}}}{\sqrt[{n}]{\frac {x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n-1}}{n-1}}}}

( x 1 + x 2 + ⋯ + x n − 1 n − 1 ) n − 1 n ≥ ( x 1 x 2 ⋯ x n − 1 ) 1 n {\displaystyle ({\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1}}{n-1}})^{\frac {n-1}{n}}\geq ({x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}})^{\frac {1}{n}}}

( x 1 + x 2 + ⋯ + x n − 1 n − 1 ) n − 1 1 ≥ ( x 1 x 2 ⋯ x n − 1 ) {\displaystyle ({\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1}}{n-1}})^{\frac {n-1}{1}}\geq ({x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}})}

Fent arrel (n-1)-èsima se seguix,

( x 1 + x 2 + ⋯ + x n − 1 n − 1 ) ≥ ( x 1 x 2 ⋯ x n − 1 ) 1 n − 1 {\displaystyle ({\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1}}{n-1}})\geq ({x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}})^{\frac {1}{^{n}-1}}}

Quedant així demostrat pel mètode inductiu, la veracitat de la desigualtat MA-MG.

x 1 + x 2 ⋯ + x n n ≥ x 1 x 2 ⋯ x n n , ∀ n ∈ N {\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}},\forall n\in \mathbb {N} } Q.E.D.

Vegeu també

  • Inequació