Cercles de Malfatti

En matemàtiques, els cercles de Malfatti són els tres cercles interiors d'un triangle donat, de tal forma que siguin tangents entre si i cadascun d'ells és tangent a dos costats del triangle. Reben el seu nom del matemàtic italià Gian Francesco Malfatti qui va ser el primer a estudiar la seva construcció en la creença, equivocada, que eren els tres cercles que proporcionaven la màxima superfície entre tots els trios de cercles interiors d'un triangle no superposats.

El problema de Malfatti

Tot i que el problema sembla haver estat plantejat abans pel matemàtic japonès Naonobu Ajima,[1] l'any 1803 Malfatti va enunciar el següent problema:[2] Donat un prisma triangular de qualsevol mena de material, per exemple de marbre, com tallar tres cilindres circulars de la mateixa alçada que el prisma i del major volum possible. Aquest problema és el mateix que dibuixar a l'interior d'un triangle tres cercles de màxima superfície. Malfatti, i molts altres (Jakob Steiner, Andrew Searle Hart, Eugène Charles Catalan), van conjecturar erròniament que aquests cercles serien tangents entre si i tangents cadascun a dos costats del triangle.

Comparació dels cercles de Malfatti amb els tres cercles que maximitzen la superfície en un triangle equilàter.

El problema va ser popularitzat per Joseph Diaz Gergonne en els Annales de Mathématiques pures et appliquées i no va ser fins al 1930 en que Lob i Richmond van demostrar, utilitzant un algorisme voraç que s'aconseguia major superfície construint un cercle inscrit i després, successivament, dos cercles en els espais buits més grans.[3]

Aquesta diferència és molt petita en un triangle equilàter (només un 1%), però Howard Eves va demostrar el 1965 que en un triangle isòsceles podia arribar a ser quasi del doble.[4]

Referències

  1. ↑ Fukagawa i Rothman, pàgina 79.
  2. ↑ Andreescu, Mushkarov i Stoyanov, pàgina 80.
  3. ↑ Wells, pàgines 145-146.
  4. ↑ Ogilvy, pàgina 146.

Bibliografia

  • Andreescu, Titu; Mushkarov, Oleg; Stoyanov, Luchezar. Geometric Problems on Maxima and Minima. Boston: Birhkäuser, 2006. ISBN 978-0-8176-3517-6. 
  • Fukagawa, Hidetoshi; Rothman, Toni. Sacred Mathematics: Japanese Temple Geometry. Princeton University Press, 2008. ISBN 978-0-691-12745-3. 
  • Lorenat, Jemma «Not set in stone: nineteenth-century geometrical constructions and the Malfatti Problem». Journal of the British Society for the History of Mathematics, Vol. 27, 2012, pàg. 169-180. DOI: 10.1080/17498430.2012.676962. ISSN: 1749-8341.
  • Ogilby, Charles Stanley. Excursions in Geometry. Londres: Constable and Co, 1969. ISBN 0-486-26530-7. 
  • Wells, David G. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. Penguin Books, 1991. ISBN 9780140118131. 

Enllaços externs

  • Weisstein, Eric W. «Malfatti Circles». MathWorld. [Consulta: 3 abril 2015].