Binomi de Newton

El Binomi de Newton^[1][2][3] o teorema del binomi és una fórmula que serveix per a calcular la potència ${\displaystyle n}$ d'un binomi ${\displaystyle (a+b)}$. És per tant una generalització de les fórmules elementals ${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$ i ${\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}}$. Aquestes dues formen part del que s'anomenen Identitats notables, i admeten una demostració gràfica elemental en termes d'àrees de quadrats i rectangles, i volums de cubs i paral·lelepípedes.

La fórmula general utilitza nombres combinatoris, i diu:

${\displaystyle {(a+b)}^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}\,b^{k},\quad \quad \quad \quad \quad (1)}$

on el coeficient binomial ${\displaystyle {n \choose k}}$ és el nombre combinatori definit com a ${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}}$, que es llegeix "${\displaystyle n}$ sobre ${\displaystyle k}$". El conjunt dels coeficients binomials ordenats en fileres amb ${\displaystyle n}$ creixent de dalt a baix constitueixen l'anomenat triangle de Tartaglia, triangle de Pascal o triangle aritmètic.^[4]

Exemples:

• per ${\displaystyle n=2}$ : ${\displaystyle (a+b)^{2}={2 \choose 0}a^{2}+{2 \choose 1}ab+{2 \choose 2}b^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$

• per ${\displaystyle n=3}$ : ${\displaystyle (a+b)^{3}={3 \choose 0}a^{3}+{3 \choose 1}a^{2}b+{3 \choose 2}ab^{2}+{3 \choose 3}b^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}}$
• ${\displaystyle 12^{3}=(10+2)^{3}=10^{3}+3\ 10^{2}\ 2+3\ 10\ 2^{2}+2^{3}=1000+600+120+8=1728}$

Quan tenim ${\displaystyle (a-b)^{n}}$, n'hi ha prou amb escriure-ho com a ${\displaystyle (a+(-b))^{n}}$, amb el que s'obté ${\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}$, ${\displaystyle (a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}}$ i, en general,

${\displaystyle {(a-b)}^{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}a^{n-k}\,b^{k}}$.

La fórmula és molt anterior a Newton. La seva història pot trobar-se a l'article Potència d'un Binomi de R. Nolla esmentat més avall com a enllaç extern.

Demostració

Raonament combinatori

Tenint en compte l'expressió ${\displaystyle x=(a+b)^{n}}$, veiem que ${\displaystyle x}$ es pot escriure com el producte de ${\displaystyle n}$ binomis, ${\displaystyle x=s_{1}s_{2}\cdots s_{n}}$, on cada ${\displaystyle s_{i}=a+b}$, i el desenvolupament de ${\displaystyle x}$ és la suma de tots els productes formats agafant un terme – ja sigui ${\displaystyle a}$ o ${\displaystyle b}$ – de cada ${\displaystyle s_{i}}$. Per exemple, el terme ${\displaystyle a^{n}}$ en el desenvolupament de ${\displaystyle x}$ s'obté seleccionant ${\displaystyle a}$ en cada ${\displaystyle s_{i}}$.

El coeficient que multiplica cada terme del desenvolupament de ${\displaystyle x}$ queda determinat per la quantitat de formes diferents que hi ha per triar termes ${\displaystyle s_{i}}$ tals que el seu producte és de la mateixa forma que el terme (excloent el coeficient). En el cas de ${\displaystyle t=a^{n-1}b}$, ${\displaystyle t}$ es pot formar a base d'agafar ${\displaystyle b}$ d'un dels ${\displaystyle s_{i}}$ i ${\displaystyle a}$ de tota la resta. Hi ha ${\displaystyle n}$ formes de seleccionar un ${\displaystyle s_{i}}$ per obtenir la ${\displaystyle b}$; per tant ${\displaystyle t}$ s'obté de ${\displaystyle n}$ formes diferents en el desenvolupament de ${\displaystyle x}$, i per tant el seu coeficient és ${\displaystyle n}$. En general, per ${\displaystyle t=a^{n-k}b^{k}}$, hi ha

${\displaystyle {n \choose k}}$

Formes diferents de seleccionar els ${\displaystyle s_{i}}$ per obtenir els ${\displaystyle b}$s (ja que ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle b}$s se seleccionen a partir de ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle s_{i}}$), i per tant aquest ha de ser el coeficient per a ${\displaystyle t}$.

Demostració algebraica

Una altra forma de demostrar el teorema binomial és per inducció. Quan ${\displaystyle n=0}$, es té

${\displaystyle (a+b)^{0}=1=\sum _{k=0}^{0}{0 \choose k}a^{0-k}b^{k}.}$

Per hipòtesi d'inducció se suposa que el teorema és veritat quan l'exponent val ${\displaystyle m}$. Llavors per ${\displaystyle n=m+1}$

${\displaystyle (a+b)^{m+1}=a(a+b)^{m}+b(a+b)^{m}\,}$${\displaystyle =a\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}a^{m-k}b^{k}+b\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j}}$

Aplicant la propietat distributiva

${\displaystyle =\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j+1}}$

Traient fora del sumatori el terme ${\displaystyle k=0}$

${\displaystyle =a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j+1}}$

fent ${\displaystyle j=k-1}$

${\displaystyle =a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{k=1}^{m+1}{m \choose k-1}a^{m-k+1}b^{k}}$

Traient fora del sumatori de la dreta el terme ${\displaystyle k=m+1}$

${\displaystyle =a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k-1}a^{m+1-k}b^{k}+b^{m+1}}$

Combinant els sumatoris

${\displaystyle =a^{m+1}+b^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}\left[{m \choose k}+{m \choose k-1}\right]a^{m+1-k}b^{k}}$

Aplicant la regla de Pascal

${\displaystyle =a^{m+1}+b^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m+1 \choose k}a^{m+1-k}b^{k}}$

Afegint dins dels sumatori els termes ${\displaystyle m+1}$

${\displaystyle =\sum _{k=0}^{m+1}{m+1 \choose k}a^{m+1-k}b^{k}}$

La sèrie binomial

Si escrivim ${\displaystyle (a+b)^{n}=a^{n}(1+{\frac {b}{a}})^{n}}$ podem anomenar ${\displaystyle x={\frac {b}{a}}}$ i escriure ${\displaystyle \alpha }$ en lloc de ${\displaystyle n}$. La funció ${\displaystyle f(x)=(1+x)^{\alpha }}$rep el nom de funció binomial i té sentit també si ${\displaystyle \alpha }$ és un nombre complex qualsevol. La seva sèrie de Mclaurin té radi de convergència més gran o igual que 1, segons el valor de ${\displaystyle \alpha }$, i es coneix com a sèrie binomial o expansió binomial.^[5][6] Aquesta generalitza el Binomi de Newton ${\displaystyle (1)}$, que és el cas en què ${\displaystyle \alpha }$ és un nombre natural.

${\displaystyle {\begin{aligned}(1+x)^{\alpha }&=\sum _{k=0}^{\infty }\;{\alpha \choose k}\;x^{k}=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2!}}x^{2}+\cdots ,\end{aligned}}}$

on ${\displaystyle {\alpha \choose k}:={\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k!}}}$, (regla mnemotècnica: hi ha ${\displaystyle k}$ factors en el numerador i ${\displaystyle k}$ factors en el denominador).

Per exemple, quan ${\displaystyle \alpha =1/2}$ i ${\displaystyle |x|<1}$ dona la sèrie següent:

${\displaystyle {\sqrt {1+x}}=\textstyle 1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+{\frac {7}{256}}x^{5}-\cdots }$.

I quan ${\displaystyle \alpha =-1/2}$ i ${\displaystyle |x|<1}$;

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+x}}}=\textstyle 1-{\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{8}}x^{2}-{\frac {5}{16}}x^{3}+{\frac {35}{128}}x^{4}-{\frac {63}{256}}x^{5}+\cdots }$.

Observacions

A les demostracions anteriors es veu que és essencial la propietat commutativa ${\displaystyle ab=ba}$. Si, per exemple, ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ fossin dues matrius que no commutessin, aleshores tindríem simplement ${\displaystyle (A+B)^{2}=A^{2}+AB+BA+B^{2}}$ o ${\displaystyle (A+B)^{3}=A^{3}+A^{2}B+ABA+BA^{2}+AB^{2}+BAB+B^{2}A+B^{3}}$.

El Binomi de Newton és molt útil per al càlcul mental. Per exemple, calcular ${\displaystyle 21^{4}}$ és molt fàcil si s'escriu com a ${\displaystyle (20+1)^{4}}$.

Observi's que la suma dels coeficients binomials del binomi de grau ${\displaystyle n}$ és igual a ${\displaystyle 2^{n}}$i la suma dels coeficients que jauen en els llocs senars coincideix amb la suma dels que jauen en els llocs parells.

El terme ${\displaystyle {n \choose k}a^{n-k}\,b^{k}}$ quan ${\displaystyle a=1-p}$ i ${\displaystyle b=p}$ és la probabilitat que el nombre d'èxits sigui exactament ${\displaystyle k}$ en una seqüència de ${\displaystyle n}$ assaigs independents amb una probabilitat fixa ${\displaystyle p}$ d'ocurrència de l'èxit entre els assaigs. A aquesta distribució de probabilitat se li dona el nom de distribució binomial.

La primera aparició escrita de la sèrie binomial va ser en una carta de Newton a Henry Oldenburg, Secretari de la Royal Society, el 1676.^[7] Newton va usar el binomi i la distribució binomial el 1693 per a resoldre un problema sorgit en un joc de daus, per encàrrec de la casa reial de Guillem III.^[8]

Comentaris

És famós el vers del poeta portuguès Fernando Pessoa: O binómio de Newton é tão belo como a Vénus de Milo./ O que há é pouca gente para dar por isso.^[9] (El binomi de Newton és tan bell com la Venus de Milo./ El que passa és que poques persones ho noten.)

Un problema conegut, i no molt fàcil, de càlcul mental és l'anomenat Problema de Rachinsky, que consisteix a calcular mentalment ${\displaystyle {\dfrac {10^{2}+11^{2}+12^{2}+13^{2}+14^{2}}{365}}}$. Hi ha diverses maneres de fer-ho, però potser la mes ràpida és expressar els quadrats com a quadrats d'un binomi de manera que apareguin cancel·lacions. Aquest problema és el que apareix escrit a la pissarra al quadre Aritmètica mental. A l'escola pública de S. Rachinsky (1895), del pintor realista rus Nikolay Bogdanov-Belsky.

Referències

Vegeu també

• Triangle de Tartaglia
• Identitats notables
• Coeficient Binomial

Enllaços externs

• Potència d'un binomi, per R. Nolla