Arrel enèsima

En matemàtiques, l'arrel enèsima d'un nombre x és un nombre r que, quan s'eleva a n, equival a x:

${\displaystyle r^{n}=x}$

On n és el grau de l'arrel. Una arrel de grau 2 s'anomena arrel quadrada i una arrel de grau tres arrel cúbica. Les arrels de grau superior es designen usant els nombres ordinals, com per exemple arrel quarta, arrel vintena, etc.^[1][2]

Per exemple:

• 2 és una arrel quadrada de 4, perquè ${\displaystyle 2^{2}=4}$.
• −2 també és una arrel quadrada de 4, perquè ${\displaystyle (-2)^{2}=4}$.

Un nombre real o nombre complex té n arrels de grau n. Les arrels de 0 no són diferents (totes són zero), però excepte aquest cas especial, totes les n arrels enèsimes de qualsevol altre nombre real o complex són diferents. Si n és parell i el nombre és real i positiu, una de les seves n arrels és positiva, una és negativa i la resta són complexes però no reals; d'altra banda, si n és parell i el nombre és real i negatiu, cap de les n arrels és real. Si n és imparell i el nombre és real, una arrel és real i té el mateix signe que el nombre, mentre que la resta d'arrels no són reals.^[3]

Les arrels se solen escriure mitjançant el símbol de radical ${\displaystyle {\sqrt {\,\,}}}$ o ${\displaystyle \surd {}}$, on ${\displaystyle {\sqrt {x}}\!\,}$ o ${\displaystyle \surd x}$ denoten l'arrel quadrada, ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}\!\,}$ denota l'arrel cúbica, ${\displaystyle {\sqrt[{4}]{x}}}$ denota l'arrel quarta, etc. En l'expressió ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$, n s'anomena índex, ${\displaystyle {\sqrt {\,\,}}}$ és el símbol de radical i x és el radicand.

En càlcul, les arrels es tracten com casos especials de potenciació en els quals l'exponent és una fracció:

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}\,=\,x^{1/n}}$

Les arrels són especialment importants en la teoria de sèries infinites; el criteri de l'arrel determina el radi de convergència d'una sèrie de potències. Les arrels enèsimes també es poden definir per nombres complexos, i les arrels complexes d'1 (arrel de la unitat) tenen un paper important en matemàtiques avançades. La teoria de Galois és útil per determinar quins nombres algebraics es poden expressar a partir d'arrels, i per demostrat el teorema d'Abel-Ruffini, que postula que una equació polinòmica general de grau cinc o superior no es pot resoldre tan sols fent servir arrels.

Propietats de les arrels

Les arrels, tenen propietats molt similars a les potències. Es poden operar com potències si s'expressen com a tals. Es pot veure les propietats de les potències a potència aritmètica

Suma i resta de radicals

La suma o la resta d'arrel és una altra arrel semblant a les anteriors el coeficient de la qual és la suma o la resta de coeficients.

5${\displaystyle {\sqrt[{n}]{m}}}$ + 3${\displaystyle {\sqrt[{n}]{m}}}$ − 2${\displaystyle {\sqrt[{n}]{m}}}$ = 6${\displaystyle {\sqrt[{n}]{m}}}$

Arrel d'una arrel

Si es fa l'arrel d'una arrel, es pot simplificar com una sola arrel multiplicant els exponents:

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\sqrt[{m}]{p}}}={\sqrt[{m\cdot n}]{p}}}$

Producte d'arrels

El producte de dues arrels del mateix exponent, és igual a l'arrel del producte.

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{xy}}={\sqrt[{n}]{x}}{\sqrt[{n}]{y}}}$

Divisió d'arrels

La divisió de dues arrels del mateix exponent, és igual a l'arrel de la divisió.

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\frac {x}{y}}}={\frac {\sqrt[{n}]{x}}{\sqrt[{n}]{y}}}}$

Arrels de nombres negatius

Quan es fa l'arrel d'un nombre negatiu, llavors l'arrel té com a resultats n nombres complexos.

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{-p}}={\sqrt[{n}]{p}}\,\left(\cos {\frac {(2k+1)\pi }{n}}+i\,\sin {\frac {(2k+1)\pi }{n}}\right)={\sqrt[{n}]{p}}\,\exp \left({\frac {(2k+1)\pi i}{n}}\right)}$ (k nombre enter, p > 0).

Per exemple, si n = 4, les quatre arrels de -1 són:

${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}\,(1+i),\,{\frac {\sqrt {2}}{2}}\,(-1+i),\,{\frac {\sqrt {2}}{2}}\,(-1-i),\,{\frac {\sqrt {2}}{2}}\,(1-i)}$.

Introducció de factors en una arrel

Per introduir factors en una radical, han d'elevar-se aquests factors a l'índex de l'arrel.

a⋅${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$= ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{n}x}}}$

Referències

Vegeu també

• Nombre irracional